1.2.1 充要条件公开课参赛课教案

1.2.2《充要条件》教学设计

海宁中学 李安毓

一、教学目标：

1.知识与技能：

①正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义；

②正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件；

③通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.

2.过程与方法：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

3.情感态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． 二、教学重点： 1.

充要条件的判定方法；

2. 正确运用“条件”的定义解题. 3.培养学生的逻辑推理论证能力核心素养能力，以及数学表达能力. 三、教学难点： 通过多种途径理解和判断充要性. 四、教学过程：

（一）问题驱动，引入新课

1.提出问题：已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. 请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：pq，故p是q的充分条件；

又q  p，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件

2.类比归纳

（1）.充分条件与必要条件的含义分别是什么？

（2）对于两个语句，p可能是q的充分条件，p也可能是q的必要条件，除此以外 p与q之间的逻辑关系还有哪些可能？

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（二）新知探索

充要条件的概念：

一般地，如果既有pq ，又有qp 就记作p  q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 概括地说,如果p  q,那么p 与 q互为充要条件. （三）应用举例

【例1】下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p:b＝0,q:函数f(x)＝ax＋bx＋c是偶函数；

(2)p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；

(3)p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；

(4)p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10 (5)p: a ＞ b ,q: a

＞ b

分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

解：命题（1）和（3）中，pq ，且qp，即p  q，故p 是q的充要条件；

命题（2）中，pq ,但q 

p，故p 不是q的充要条件；

命题（4）中，pq ，但qp，故p 不是q的充要条件； 命题（5）中，pq ，且qp，故p 不是q的充要条件；

归纳总结：一般地，

若pq ,但q 

p，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但q 

p，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且q 

p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若pq ,但q 

p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p 

q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若p 

q，且q 

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

【变式练习】

1.下列各组语句中，p是q的什么条件？

（1）p：a＞0，b＞0，q：a＋b＞0；

（2）p：四边形的四条边相等，

q：四边形是正方形；

2 222

（3）p：|x|＜1，q：－1＜x＜1；

【例2】已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．证明过程略．

【例3】设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？

（四）课堂练习

1. 已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6,则p是q的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

2. 设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”

是“x∈M∩N”的

(

)

A.充要条件

B .必要不充分条件

C .充分不必要

D .不充分不必要

3. a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是(

)

A.a<3

B.|a|<2

2

C.a<9

D.0

1.充要条件的判定方法：

如果“若p，则q”与“

若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．

2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”. (六)作业布置

教科书12页：习题1.2A组第1——4题.

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