3.3.4 两条平行直线间的距离课堂实录及点评

3.3.4

两条平行直线间的距离

1．掌握点到直线的距离公式．(重点) 2．能用公式求点到直线的距离．(难点) 3．会求两条平行直线间的距离．(重点、易错点)

[基础·初探]

教材整理1

点到直线的距离

阅读教材P106“练习”以下至P107“例5”以上部分，完成下列问题．

1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．

2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝

原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(

) A.2

C．2

B.3

D.5 |Ax0＋By0＋C|. 22A＋B【解析】

由点到直线的距离公式得

d＝|0＋0－5|22＝5. 1＋2【答案】

D 教材整理2

两条平行直线间的距离

1

阅读教材P108“练习”以下至P109“练习”以上部分，完成下列问题．

1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．

2．求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．

3．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝|C1－C2|. A2＋B2

已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(

) A．1

C.3 B.2 D．2 |1－2－1|【解析】

法一：在l1上取一点(1，－2)，则点到直线l2的距离为12＋12＝2. 法二：d＝|1－－1|＝2. 12＋12【答案】

B

[小组合作型]

点到直线的距离

求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)距离相等的直线方程．

【精彩点拨】

所求直线过点M，且到两定点A和B的距离相等．解答本题可以根据几何意义分两类情况：(1)直线过线段AB的中点；(2)所求直线与AB平行，或可利用点到直线的距离公式求解．

1【自主解答】

法一：由题意可得kAB＝－2，线段AB的中点为C(1,1)，满足条件的直线经过线段AB的中点或与直线AB平行．

2

当直线过线段AB的中点时，由于M与C点的纵坐标相同，所以直线MC的方程为y＝1；

1当直线与AB平行时，其斜率为－2，由点斜式可得所求直线方程为y－1＝1－2(x＋2)，即x＋2y＝0. 综上，所求直线的方程为y＝1或x＋2y＝0. 法二：显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b，根据条件有：

1＝－2k＋b，|－k－2＋b|＝|3k＋b|，k2＋1k2＋1

b－2k＝1，b－2k＝1，化简得：或1k＝－k＝1－b，2，

1k＝－，k＝0，2所以或

b＝1，b＝0.

故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0.

解此类题目有两种方法，一是利用数形结合的方法，过一定点与两定点距离相等的点的直线有两条，根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是求此类问题的一般方法，它应用了点到直线的距离公式，但设所求直线的方程时，要注意考虑直线的斜率是否存在.

[再练一题]

1．求点P(3，－2)到下列直线的距离：

31(1)y＝4x＋4；(2)y＝6；(3)x＝4. 31【解】

(1)直线y＝4x＋4化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离

3

公式可得

d＝|3×3－4×－2＋1|18＝5. 32＋－42(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.

两条平行线间的距离

l2过点B(5,0)，

直线l1过点A(0,1)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程．

【精彩点拨】

先设出l1、l2的方程，利用两条平行线间的距离公式求解，但注意直线斜率的讨论．

【自主解答】

当l1，l2的斜率不存在，即l1：x＝0，l2：x＝5时，满足条件．

当l1，l2的斜率存在时，设l1：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，

l2：y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由两条平行直线间的距离公式得12＝5，解得k＝5. 此时l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0. 综上所述，所求直线l1，l2的方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.

求两平行直线间距离的两种思路

(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，|1－－5k|k2＋－12

4

且b1≠b2时，d＝时，d＝|b1－b2|；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C22k＋1|C1－C2|，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

A2＋B2

[再练一题]

52．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于5的直线方程为(

) A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0 C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0 D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 【解析】

根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距|c－1|55离等于5，所以d＝2＝，

2＋125解得c＝0或c＝2. 故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 【答案】

D [探究共研型]

距离公式的综合应用

探究1

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？

【提示】

如图，

显然有0

6＋32＋2＋12

＝310.

5

故所求的d的变化范围为(0,310]．

探究2

上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．

【提示】

由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．

而kAB＝2－－11＝，

6－－33∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为

y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

在△ABC中，A(1,0)，B(0，－2)，点C在抛物线y＝x2上，求△ABC面积的最小值．

【精彩点拨】

求出AB所在的直线方程，△ABC面积最小就是点C到AB的距离最小．从而求得△ABC面积的最小值．

【自主解答】

|AB|＝12＋22＝5，

直线AB的方程为x＋即2x－y－2＝0，

设C点坐标为(a，a2)，

则C点到直线AB的距离为

|2a－a2－2|d＝. 5|2a－a－2|1S△ABC＝×5×

251＝2|a2－2a＋2| 11＝2|(a－1)2＋1|≥2，

1所以当a＝1时，△ABC的面积最小，最小值为2. 2y＝1，

－2

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1．距离公式在有关面积计算中的应用主要体现在一边的高的计算上，但要注意根据条件进行选择．

2．有关最值问题应注意：先考虑几何方法，若运用几何性质不易断定时，改用函数思想求解．

[再练一题]

3．已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)、B(m，m)、C(4,2)，1

【解】

|AC|＝4－12＋2－12＝10，

直线AC的方程为y－1x－1＝，

2－14－1|m－3m＋2|22，

1＋－3即x－3y＋2＝0.∵点B(m，m)到直线AC的距离d＝∴△ABC的面积

11S＝2|AC|·d＝2|m－3m＋2| 311m－22－. ＝24∵1

3111m－22－≤，0

9即m＝4时，△ABC的面积S最大．

1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(

)

7

32A.2

3C.2

【解析】

d＝【答案】

A |1＋1＋1|32＝2. 12＋－122B.2

1D.2

2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0间的距离为(

) A．3 C．1

【解析】

d＝【答案】

C 3．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．

【解析】

d＝|3－(－2)|＝5. 【答案】

5 4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________. 【解析】

由|3m＋2＋3||－m＋4＋3|22＝22，

m＋1m＋1|－7－－12|＝1. 223＋4B．2 1D.2

1解得m＝2或m＝－6. 1【答案】

2或－6 5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程.

【解】

∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，

根据两平行直线间的距离公式得解得b＝45或b＝－33. ∴所求直线方程为：5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0. |b－6|＝3，

52＋－122

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