3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优质课教学设计

3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

[新知初探]

1．空间向量基本定理：

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

2．空间向量的正交分解及其坐标表示

(1)单位正交基底：

三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．

(2)空间直角坐标系：

以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz. (3)空间向量的坐标表示：

对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底(

) (2)向量AP的坐标与点P的坐标一致(

) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3(

) 2．已知A(2,3－μ，－1＋ν)关于x轴的对称点是A′(λ，7，－6)，则λ，μ，ν的值为(

) A．λ＝－2，μ＝－4，ν＝－5

B．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5 C．λ＝－2，μ＝10，ν＝8 D．λ＝2，μ＝10，ν＝7 3．已知向量a，b，c是空间的一个基底，下列向量中可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一个基底的是______(填序号)．

①2a；②－b；③c；④a＋c

1

题型一

空间向量基本定理的理解

[典例]

已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底？

[活学活用] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：

①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．

其中可以作为空间的基底的向量组有________个．

题型二

[典例]

如图，四棱锥P-OABC

的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设空间向量基本定理的应用

OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：BF，BE，AE，EF.

[活学活用] 2

如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．

(1)

BD＝xAD＋yAB＋zAA；

(2)

AE＝xAD＋yAB＋zAA.

题型三

[典例]

如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，

求向量MN的坐标．

空间向量的坐标表示

3

[活学活用] π在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．在2如图所示的空间直角坐标系中，求DO，A1B的坐标．

层级一

学业水平达标

1．已知A(3,2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是(

) A．(－3，－2,3)

C．(－3,2,3)

B．(－3,2，－3)

D．(－3，－2，－3) 2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3．在空间直角坐标系O-xyz中，下列说法正确的是(

) A．向量AB的坐标与点B的坐标相同

B．向量AB的坐标与点A的坐标相同

C．向量AB与向量OB的坐标相同

D．向量AB与向量OB－OA的坐标相同

4

4．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则OG等于(

) 1111A.

OA＋OB＋OC

B.(

OA＋OB＋OC) 63341111C.(

OA＋OB＋OC)

D.

OB＋OA＋OC

36335．空间四边形OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，OA＝a，OB＝b，OC＝c，N为BC中点，则MN为(

) 121A.a－b＋c

232112C.a＋b－c

223211

B．－a＋b＋c

322

221D.a＋b－c

3326．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．

7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________. 8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF＋λA1D＝0(λ∈R)，则λ＝________. 9．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．

(1)用向量a，b，c表示D1B，EF；

(2)若D1F＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．

5

10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1.

层级二

应试能力达标

1．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间的一个基底的关系是(

) 111A．OM＝OA＋OB＋OC B．MA＝MB＋MC

333C．OM＝OA＋OB＋OC D．MA＝2MB－MC

2．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；

②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；

③A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；

④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．

其中正确命题的个数是(

) A．1

C．3

B．2

D．4 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝2j，AA1＝5k，则向量AC1在基底{i，j，k}下的坐标是(

) A．(1,1,1)

C．(3,2,5)

111

B.3，2，5

D．(3,2，－5) 6

24．已知向量OA和OB在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若OC＝AB，5则向量OC在基底{a，b，c}下的坐标是(

) 648－，－，－

A.555648－，－，

C.555648，－，－

B.555648D.5，5，5

5．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．

6．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝α

a＋β

b＋γ

c时，α＋β＋γ＝________. 7．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，且M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．

8．已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN. 7