3.1.1 空间向量及其加减运算教案教学设计导入整理

3．1.1 空间向量及其加减运算

1.了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．

2.掌握空间向量的加法、减法运算．

1．空间向量

(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．

(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．

②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点(3)表示法

→

是A，终点是B，可记作a，也可记作AB，

其模记为|a|或|→AB|(4)特殊向量

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向量的方向．单位向量有无数个，它们的方向不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但规定所有的零向量都相等．

2．空间向量的加减法与运算律

空间向量的运算

加法

减法

加法

运算律

平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．

→→OB＝OA＋AB＝a＋b

CA＝OA－OC＝a－b

(1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) →→

→→

1

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．(

) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．(

) (3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(

) (4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)√

(4)×

空间两个向量a，b

互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论不正确的是(

) A．a＝－b

C．a与b方向相反 答案：B →→→

已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则AB＋BC＋CD为(

) →A.AD →C.AC 答案：A

下列命题中为真命题的是(

) A．向量AB与BA的长度相等

B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C．空间向量就是空间中的一条有向线段

D．不相等的两个空间向量的模必不相等

答案：A

探究点1 空间向量的概念[学生用书P49]

(1)给出下列命题：

①零向量没有确定的方向；

→→②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝－C1C；

③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；

④在四边形ABCD中，必有AB＋AD＝AC. 其中正确命题的序号是________；

(2) →B.BD

D.0

B．a＋b＝0 D.|a|＝3 →→→→→

2

如图所示，在以长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，

①单位向量共有多少个？

②试写出模为5的所有向量．

→→【解】

(1)①正确；②正确，因为AA1与C1C的大小相等方向相反，即互为相反向量，所→→以AA1＝－C1C；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四→→→边形ABCD是平行四边形时，才有AB＋AD＝AC. 综上可知，正确命题为①②.故填①②.

→→→→→→(2)①由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，C1C，DD1，D1D这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．

→→→②由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1，D1A，A1D，→→DA1，BC1，C1B，B1C，CB1共8个．

特殊向量的特性

(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．

(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．

如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．

→(1)试写出与AB相等的所有向量；

→(2)试写出AA1的相反向量．

→→→→解：(1)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1，DC及D1C1共3个．

→→→→→(2)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D. 探究点2 空间向量的加减运算[学生用书P49]

如图所示，已知长方体ABCD­A′B′C′D′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．

→→→→→

3

→→(1)AA′－CB；

→→→(2)AA′＋AB＋B′C′.

→→→→【解】

(1)AA′－CB＝AA′－DA

→→→→→＝AA′＋AD＝AA′＋A′D′＝AD′. →→→→→→(2)AA′＋AB＋B′C′＝(AA′＋AB)＋B′C′

→→→＝AB′＋B′C′＝AC′. →→向量AD′，AC′如图所示．

→→→→[变问法]试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量AC′用向量AA′，AB，AD表示．

→→→解：在平行四边形ACC′A′中，由平行四边形法则可得AC′＝AC＋AA′，

在平行四边形ABCD中，

→→→由平行四边形法则可得AC＝AB＋AD，

→→→→故AC′＝AB＋AD＋AA′.

空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．

(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．

→→→→

化简(AB－CD)－(AC－BD)＝________．

解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) →→→→→→→→(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD

→→→→＝AB＋DC＋CA＋BD

→→→→＝AB＋BD＋DC＋CA＝0.

4

法二：(利用向量的减法运算法则求解) →→→→(AB－CD)－(AC－BD) →→→→＝(AB－AC)＋BD－CD

→→→→→＝CB＋BD－CD＝CD－CD＝0. 答案：0

→→→1．在空间四边形OABC中，OA＋AB－CB等于(

) →A.OA →C.OC B.AB

D.AC

→→→→→→→→→解析：选C.OA＋AB－CB＝OA＋AB＋BC＝OC，故选C. 2．给出以下命题：

①若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；

②空间向量的减法满足结合律；

→→③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1. 其中正确命题的个数是(

) A．0 C．2 B．1 D.3 解析：选C.由相反向量的定义知①正确；减法不满足结合律，②错误；③中由AC瘙→→綊A1C1，知AC＝A1C1，正确．故选C. 3.如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．

→→(1)AA1＋A1B1；

→→→(2)AA1＋A1M－MB1；

→→→(3)AA1＋A1B1＋A1D1；

→→→→→(4)AB＋BC＋CC1＋C1A1＋A1A.

5

→→→解：(1)AA1＋A1B1＝AB1. →→→→→→→(2)AA1＋A1M－MB1＝AA1＋A1M＋MD1＝AD1. →→→→→→(3)AA1＋A1B1＋A1D1＝AA1＋A1C1＝AC1. →→→→→(4)AB＋BC＋CC1＋C1A1＋A1A＝0. 4.

→→→→在如图所示的平行六面体中，求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.

证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，

→→→→→→→→→所以AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′，

→→→所以AC＋AB′＋AD′

→→→→→→＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋AA′)

→→→＝2(AB＋AD＋AA′)．

→→→→又因为AA′＝CC′，AD＝BC，

→→→→→→→→→所以AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′＝AC＋CC′＝AC′.

→→→→所以AC＋AB′＋AD′＝2AC′.

知识结构

深化拓展

理解空间向量的两个关系

(1)模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．

(2)向量的模与向量大小关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的.

[学生用书P50]

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[学生用书P127(单独成册)]) [A 基础达标] →→→→1．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是(

) →→→A.AB＝BC＋CD

→→→→C.AD＝AB＋BC－CD →→→→B.AD＝AB＋CD＋BC

→→→D.BC＝BD＋CD

解析：选B.根据空间向量的加减运算可得B正确．

2．给出下列命题：

→→①向量AB的长度与向量BA的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

→→④若向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．

其中假命题的个数为(

) A．2 C．4 B．3 D.5 解析：选C.①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4. →→→→→→3．已知向量AB，AC，BC满足|AB|＝|AC|＋|BC|，则(

) →→→A.AB＝AC＋BC →→→B.AB＝－AC－BC

→→C.AC与BC同向 →→D.AC与CB同向

→→→→→解析：选D.由|AB|＝|AC|＋|BC|＝|AC|＋|CB|，知A，B，C三点共线且C点在线段AB→→上，所以AC与CB同向．

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是(

) →→→A.AB＋A1D1＋C1A1

→→→B.AB－AC＋BB1

→→→C.AB＋AD＋AA1

7

→→D.AC＋CB1

→→→→→→→→解析：选A.在A选项中，AB＋A1D1＋C1A1＝(AB＋AD)＋CA＝AC＋CA＝0. →→→→5．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD是(

) A．平行四边形 C．等腰梯形 B．空间四边形

D.矩形

→→→→→→解析：选A.由于AO＋OB＝AB，DO＋OC＝DC，

→→→→所以AB＝DC，从而|AB|＝|DC|，且AB与CD不共线，

所以AB∥DC，

所以四边形ABCD是平行四边形．

→→→6．式子(AB－CB)＋CC1运算的结果是__________．

→→→→→→→→→解析：(AB－CB)＋CC1＝(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1. →答案：AC1

7．已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，则下列四式中正确的有________．

→→→→→→→①AB－CB＝AC；②AC′＝AB＋B′C′＋CC′；

→→→→→→→③AA′＝CC′；④AB＋BB′＋BC＋C′C＝AC′. →→→→→解析：AB－CB＝AB＋BC＝AC，①正确；

→AB＋B′C′＋CC′＝AB＋BC＋CC′＝AC′，②正确；

→→→→→→→→③显然正确；AB＋BB′＋BC＋C′C＝AB′＋B′C′＋C′C＝AC，④错．

答案：①②③

8．给出下列几个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

③对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|. 其中正确命题的序号为________．

解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a|→→→→→→＝|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．

答案：③

9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

→→(1)若A，B，C，D四点在一条直线上，则AB与CD共线；

(2)互为相反向量的向量的模相等；

8

(3)任一向量与它的相反向量不相等．

解：(1)正确．因为A，B，C，D四点在一条直线上，所以→AB与→CD一定共线．

(2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．

(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的．

10.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，化简向量表达式：

(1)→AB＋→CD＋→BC＋→DA；

(2)AA→＋B→D→→11C1＋1D＋CB. 解：(1)→AB＋→CD＋→BC＋→DA

＝→AB＋→BC＋→CD＋→DA＝0. (2)因为B→＝→BC＝－→CB，D→→1C11D＝－AA1，

所以原式＝AA→→AA→→1－CB－1＋CB＝0. [B 能力提升] 11．已知正方体ABCD­A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有( ①→OA＋→OD与OB→′＋OC→′是一对相反向量；

②→OB－→OC与OA→′－OD→′是一对相反向量；

③→OA＋→OB＋→OC＋→OD与OA→′＋OB→′＋OC→′＋OD→′是一对相反向量；

④OA→′－→OA与→OC－OC→′是一对相反向量．

A．1个 B．2个

C．3个 D.4个

解析：选C.

如图所示，①→OA＝－OC→′，→OD＝－OB→′，

所以→OA＋→OD＝－(OB→′＋OC→′)，是一对相反向量；

②→OB－→OC＝→CB，OA→′－OD→′＝D′→A′，而→CB＝D′→A′，故不是相反向量；

③同①也是正确的；

④OA→′－→OA＝AA→′，→OC－OC→′＝C→′C＝－AA→′，是一对相反向量．

12．下列说法中，错误的个数为(

) ) 9

→→①在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC＝A1C1；

→→→→→→②若两个非零向量AB与CD满足AB＝－CD，则AB，CD互为相反向量．

→→③AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D重合．

A．1 C．3 B．2 D.0 →→→→→→解析：选A.①正确．②正确.AB＝－CD，且AB，CD为非零向量，所以AB，CD互为相反向→→→→→→量．③错误．由AB＝CD，知|AB|＝|CD|，且AB与CD同向，但A与C，B与D不一定重合．

13．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．

→→→→(1)AB1－AD1，AB1＋AD1.

→→→→→→(2)AB＋AD－AD1，AB＋AD＋AD1.

→→→解：(1)如图所示，AB1－AD1＝D1B1，

AB1＋AD1＝AB1＋B1C2＝AC2. →→→→→

(2)如图所示，

→→AB＋AD－AD1＝AC－AD1＝D1C，

AB＋AD＋AD1＝AC＋CC3＝AC3. →→→→→→→→→→

14．(选做题)如图所示，在六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中．

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(1)化简A→→→→→→1F1－EF－BA＋FF1＋CD＋F1A1，并在图中标出化简结果的向量；

(2)化简→DE＋E→→→→1F1＋FD＋BB1＋A1E1，并在图中标出化简结果的向量．

解：(1)A→→→→→＋F→1F1－EF－BA＋FF1＋CD1A1

＝→AF＋→FE＋→AB＋BB→→→1＋CD＋DC

＝→AE＋AB→1＋0

＝→AE＋ED→1

＝AD→1. AD→1在图中所示如下：

(2)→DE＋E→→→→1F1＋FD＋BB1＋A1E1

＝→DE＋→EF＋→FD＋BB→→1＋B1D1

＝→DF＋→FD＋BD→1

＝0＋BD→1

＝BD→1. BD→1在图中所示如下：

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