小结优质课教案设计

《利用平面的法向量求二面角》微课教学设计（详案）

学校：昆明西南联大研究院附属学校

设计者：

刘芮彤

时间：2017年5月

微课名称

所属学科

教学资源

平面法向量求二面角

高中数学

知识来讲源

授课对象

人教A版选修2-1 高三年级

教学时间

讲授者

9分23秒

刘芮彤

PPT多媒体、几何画板

知识与理解二面角的平面角与两个半平面的法向量夹角的关系，能够判断和控制法技能

向量的方向，能够利用向量方法求解二面角的大小。

教学

目标

通过类比直线与平面所成角的解决方法，并结合数形结合的思想，得到用法向量求二面角大小的方法，并能用之解决有关问题，体会向量方法在研究几过程与何问题中的作用，培养学生类比转换的能力和数形结合的思想。通过引导让方法

学生学会从定性和定量的角度分析和解决问题，同时也使学生的分析与推理能力、空间想象能力得到提高。

情感态通过经历利用向量法求二面角大小的推导过程，培养学生大胆探索的精神，度与价学会从感性和理性两方面全面的分析事物和问题。

值观

理解并掌握用

通过法向量的坐标来判断法向量与二面角的“进教学难点

出”关系，进一步判断二面角大小与两个面的法向量的夹角关系。或是控制法向量的进出从而优化二面角的求解。

教学

重点

平面法向量求二面角

设计思路

“探究——类比——数形结合——归纳——例题”

二面角是空间几何中的重要知识点，是高考命题的热点，也是三种空间角中比较难求的一个。在人教A版（选修2-1第三章）中，只介绍了用法向量法求二面角或其教材

分析

补角大小，但并没具体介绍如何判断二面角与法向量夹角之间或相等或互补的关系。本节课是一节解题方法的小结课，重点是认识二面角的平面角与两半平面法向量的关系，通过坐标判断和控制法向量的方向。

一、

复习与巩固

过程设计

时间

二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（学生快速浏览）

0~32秒

教

学

过

程

二、探究过程

问题：在上节课，我们对二面角进行了相应的定性分析，能否采用定量分析的方法对二面角的大小进行求解呢？（抛出问题，逐层升入）

（1）通过类比直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量之间有什么关系呢？

（2）对两半平面的法向量的方向进行分类讨论后，分别用动画直观展示二面角的大小与两个半平面法向量之间的关系。（由于其余两种情况的法向量的夹角与下面两种情况的夹角分别相同，故以下面两种进行详细分析即可）

nan1n2l32秒~7分31秒

一进一出

同进同出

通过分析可得到，我们在对二面角的大小进行求解时，可以转化为求解两法向量的夹角，并且二面角的大小与法向量n1、n2夹角相等或互补。

对刚才分析的内容进行归纳：

①

当法向量n1、n2

一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小为n1,n2

，此时coscosn1,n2

②

当法向量n1、n2

同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为

n1,n2，此时coscosn1,n2

可根据以下口诀进行记忆：“同进同出为补角，一进一出为夹角”。

（3）通过以上分析可以看出，在两个法向量的方向恰为一进一出这种情况是，求解二面角更为简单，那么我们要怎样才能控制一个平面的法向量的方向，从而达到理想的“一进一出”的效果呢？

以平面ABC的法向量为n为例，

若要法向量的方向“向上”，可设nx,y,1或

nx,y,z0，其中z00；

若要法向量的方向“向前”，可设n1,y,z或

nx0,y,z，其中x00；

若要法向量的方向“向右”，可设nx,1,z或

nx,y0,z，其中y00. (4)给出运用平面法向量——求“二面角的大小”的解题基本步骤：

①

建立空间直角坐标系；

②

求出所需各点的坐标；

③

求出两个平面的法向量；

④

求出两个法向量的余弦值，进而求出二面角的大小；

⑤

写出所求二面角的大小。

三、例题讲解

如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，

ABC90，SA平面ABCD,SAABBC1，

1AD,求面SCD和SBA所成的二面角。

2

7分31秒~9分23秒

1、本节课通过类比并结合数形分析得出平面的法向量与二面角之间的关系以及

教学

总结

如何用坐标控制或判断法向量的方向；

2、最后给出用平面法向量求解二面角大小的基本解题步骤。

1、本节课注重对学生数学思维的培养，在抛出如何用定量分析解决二面角

教学反思（创新之处）

大小的核心问题后，层层递进，引导学生利用类比转化和数形结合的思想得到结论。由浅入深，加强了学生对此部分的理解。

2、本课内容增加了如何通过坐标控制法向量的方向，从而达到理想的“一进一出”这部分内容，让此部分的知识更完整。