1.1.3 四种命题间的相互关系第一课时教学设计

1.1.3 四种命题的相互关系

一、教学目标

知识与技能：在了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题概念及四种命题的形式的基础上，掌握和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假． 过程与方法：多举命题的例子，写出四种命题并判断四种命题的真假，培养学生发现问题、分析问题、有创造性地解决问题的思维能力．

情感、态度与价值观：通过举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，以及辨析能力以及分析问题和解决问题的能力．

二、教学重点与难点

重点：写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题并会判断命题的真假； 难点：分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假；

三、教学过程

１．复习旧知

问题1：什么叫做命题、原命题的逆命题、原命题的否命题、原命题的逆否命题？四种命题的形式的形式是什么？

(1)

交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：

(2)

同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

(3)

交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．

强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

四种命题的形式：

原命题为：若P，则q．

逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定，即不是p：非p）

逆否命题：若￢q，则￢P．

2．新课引入

问题2：下列四个命题：

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

（1）和（2）这样的两个命题叫做互逆命题，（1）和（3）这样的两个命题叫做互否命题，（1）和（4）这样的两个命题叫做互为逆否命题。那么任意两个命题间的关系是什么？

（老师引导—学生回答）

原命题若p则q互否否命题若┐p则┐q互逆互为为互否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p逆逆否互逆

3 探究：四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？

探究一

原命题：到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上. （真）

逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等. （真）

否命题:到一个角的两边距离不相等的点, 都不在这个角的平分线上. （真）

逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等. （真）

探究二

原命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2. （假）

逆命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0. （真）

否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2. （真）

逆否命为：若x≠2，则x2－3x＋2≠0. （假）

结合以上探究得下列表格：

原命题

真

真

假

假

逆命题

假

真

真

假

否命题

假

真

真

假

逆否命题

真

真

假

假

探究三

四个命题之间的真假关系

原命题

真

真

假

假

逆命题

假

真

真

假

否命题

假

真

真

假

逆否命题

真

真

假

假

结论：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性

结论：两个命题为互逆命题，它们的真假性没有关系. 结论：两个命题为互否命题，它们的真假性没有关系.

综上述：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．因此，由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

2

4．例题讲解

22例4 证明：若x+y=0，则x=y=0 2证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x＞0，所以

22x+y

＞0，

22 也就是说x+y

≠0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.

5．课堂练习

P8 习题1.1 B组 求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。

四．总结归纳

四种命题的相互关系：

互逆原命题逆命题

若p则q若q则p

互否为

逆互互

否否逆为

否互逆否命题

否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

五．课后作业

名师一号对应章节

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