3.1.2 空间向量的数乘运算课堂实录

《3.1.2空间向量的数乘运算》教学设计

榆中师范学校 牛安泰

【学情分析】：

本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题

当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题

【教学目标】：

（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算

（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题

（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题

【教学重点】：

空间向量的数乘运算及运算律

【教学难点】：

用向量解决立几问题

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

1、空间向量的数乘运算a，其模长是a的||倍

（1）当0时，a与a同向

（2）当0时，a与a反向

2、空间向量的数乘分配律和结合律

设计意图

一．温（1）分配律：(ab)ab

故知新

（2）结合律：(a)()a

3、共线向量或平形向量

类似于平面向量共线，对空间任意两个向量以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作铺垫。

a,b(b0)，a//b的充要条件是存在实数，使ab

1

1、方向向量

如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

aBlAPO其中向OPOAta．量a叫做直线l的方向向量. 在l上取ABa，则上式可化为OPOAtAB

证明：对于空间内任意一点O，A,B,P三点共线

tR,使APtAB

OP-OAtAB

OPOAtAB

二．新课讲授

由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的。

回顾平面向量的基本定理：

共面向量定理 如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y)，使得pxyb，这就是说，向量p可以由不共线的两个向量a,b线性表示。

由此可以得到空间向量共面的证明方法

2、空间平面ABC的向量表示式

Cp空间一点P位于平bAaB面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：OP

方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条件，作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。

回顾平面向量的基本定理可以发现，平面中的基底理论成了空间向量关系的一种特殊情况——共面的证明方法，这正是由特殊到一般，由简单到复杂的一种推广，对今后理解空间向量的基底理论也是有一定辐射作用的。

APxAByAC，或对空间任意一点O有：OPOAxAByAC。

2

推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则点P与点A，B，C共面的充要条件是

本探究可以在老师的启发下，给学生自己证明，不同层次可以酌情考虑是

OPxOAyOBzOC(其中xyz1)否证明。

证明：略

例1．一直平行四边形ABCD，过平面AC外一点O做射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且使OEOFOGOHk，

OAOBOCOD求证：E，F，G，H四点共面

分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面。下面我们利用AD，AB，AC共面来证明。

证明：因为三．典例讲练

OEOFOGOHk，所以

OAOBOCOD

OEkOA，OFkOB，OGkOC，OHkOD，由于四边形ABCD是平行四边形，所以ACABAD，因此，EGOGOE

kOCkOAkACk(ABAD)

k(OBOAODOA)OFOEOHOE

EFEH

由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面

进一步：请学生思考如何证明：面AC//面EG 1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。

（1）ABBCCD

巩固知识，注意向量运算律的使用. 3、略解：（1）1EGEFFGEFBDEFEH

2四．练习巩固

1（2）AB(BDBC)

21（3）AF(ABAC)

2（2）EGEBBF111ABBCAC

222

3

2、课本P89练习2-3 3、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、

BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC∥平面EFGH

五．小结

1．空间向量的数乘运算

2．空间向量的运算意义和运算律解决立几问题

得EF∥AC，AC平面EFGH，则AC∥平面EFGH 归纳知识反思方法，特点。

3．平面的向量表达式解决共面问题

六．作课本P97习题3.1，A组

第1题（3）、（4），第2业

题

练习与测试：

（基础题）

1．

已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

（1）ABBCCD； AD

A1(BDBC)； AG

21（3）AG(ABAC)．MG

2（2）AB（中等题）

BMCGD2、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、是（ ）

A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量

3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa,CBb,CC1C,则A1B（ ）

A．abc B．abc C．abc D．abc

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