1.4.2 存在量词教案（名师）

高二导学案

学科：文科数学

编号：24

编制人：黄伟燕

审核人：备课组

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1.4

全称量词与存在量词

学习目标：1.理解全称量词与存在量词的意义,熟悉常见的全称量词和存在量词.

2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系

重点：全称量词和存在量词意义的理解．

难点：全称命题和特称命题真假的判定．

预习案

一、探索新知

1.短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做

,并用符号“

”表示.含有

的命题叫做全称命题. 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做

,用符号“

”表示.含有

的命题叫做特称命题.

2.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号

表示,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”,可用符号

表示,读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.

3.含有一个量词的命题的否定

(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定p:

是特称命题;

(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定p:

是全称命题.

4.部分量词的否定

原词语

否定词语

原词语

否定词语

是

至少有一个

都是

至多有一个

大于

至少有n个

小于

至多有n个

p或q

任意的

p且q

所有的

二、预习自测

1、下列命题中含有全称量词的是(

)

A.至少有一个自然数是2的倍数

B.存在小于零的整数

C.有些整数是负数

D.若a⊥α,则直线a垂直于平面α内的任一直线

2、下列语句是特称命题的是(

)

A.整数n是2和7的倍数

B.存在整数n,使n能被11整除

C.x>7

D.∀x∈M,p(x)成立

3、

“至多有三个”的否定为(

)

A.至少有三个

B.至少有四个

C.有三个

D.有四个

4、已知命题p:∀x∈R,sin x≤1,则p是

.

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探究案

三、合作探究

题型1：全称命题与特称命题的辨析

探究1：判断下列命题是全称命题还是特称命题:

(1)负数没有对数;

(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;

(3)∀x∈{x|x是无理数},x2是无理数;

(4)∃x0∈Z,log2x0>0.

【变式训练1】

判断下列命题是全称命题还是特称命题,并用“∀”或“∃”符号表示该命题.

(1)不等式x2+x+1>0恒成立;

(2)当x为有理数时

121xx1也是有理数;

32(3)等式sin(α+β)=sin α+sin β对有些角α,β成立;

(4)方程3x-2y=10有整数解.

题型2：判断全称命题与特称命题的真假

探究2：

指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假.

(1)∀x∈N,2x+1是奇数;

(2)存在一个x0R，使10

x01(3)存在一组m,n的值,使m-n=1;

(4)至少有一个集合A,满足A⫋{1,2,3}.

【变式训练2】

已知命题:

p1:∀a>1,函数y=ax-a-x在R上为增函数,

p2:∀a>1,函数y=ax+a-x在R上为减函数,

则在命题q1:p1∨p2, q2:p1∧p2, q3:(p1)∨p2和q4:p1∧(p2)中,真命题是(

)

A.q1,q3

B.q2,q3

C.q1,q4

D.q2,q4

题型3：对含有一个量词的命题的否定

探究3：写出下列命题的否定,并判断其真假:

(1)有些质数是奇数;

(2)x0Q,x05

(3)不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根.

2

高二导学案

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【变式训练3】写出下列命题的否定,并判断其真假:

(1)p:一切分数都是有理数;

(2)p:x0R,x02x020

题型4：全称命题和特称命题的应用

探究4：若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．

【变式训练4】已知a>0，a≠1，设命题p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．

2

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训练案

四、当堂训练

1．判断下列命题的真假．

（1）所有的素数是奇数；

（2）xR，x211；

（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；

（4）有些整数只有两个正因数．

2．有以下三个命题：

①两直线m，n与平面所成的角相等的充要条件是m//n；

②不等式10xx2在（0，）上恒成立；

11③设有四个函数yx1，yx3，yx2，yx3，其中在R上是增函数的函数有3个．

其中真命题的序号是________________________．

3.命题p:xR,x210的否定p为

。

4．已知命题p:b[0,)，f(x)xbxc在[0,)上为增函数，

命题q:x0Z，使log2x00，则下列结论正确的是（

）

2A．pq

B．pq

C．pq

D．pq

5．设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．