习题1.4教学内容概述

1.4《全称量词与存在量词》教学设计

一．【教学目标】

1.知识与技能

(1)通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题；会判断全称命题和特称命题的真假；

(2)通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

2．过程与方法

通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识．

3．情感、态度与价值观

通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣．

二．【学情分析】

一部分学生对于数学语言的准确叙述和书写不大熟悉，教师应引导学生加强数学语言的规范使用，体会数学语言的形成过程，激发学生学习数学的热情，增强语言表达，从而正确理解数学概念，合理论证数学结论，准确表达数学内容。

三．【重点难点】

重点：理解全称量词与存在量词的意义，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

难点：判断全称命题和特称命题的真假，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

（重、难点突破方法：通过设置大量丰富的例子，引导学生观察、发现、合作与交流，认识全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系；对实例分析要恰当到位，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定．）

四．【教学过程】

结合本节课的特点，应通过实例层层深入、逐步推进，讲解时切忌急躁，真正做到让学生在观察、发现、合作与交流中感受知识，在教师的引导释疑下学得知识，并在训练中得以熟练．

●情景创设—概念生成—实例讲解—变式训练—归纳总结

创设问题情境，引出问题：下列语句是命题吗？语句间有什么关系？

⇒引导学生分析、解决问题，得出全称量词与全称命题的概念，并用同样的方法产生存在量词与特称命题的概念. ⇒通过引导学生回答所提问题理解含有一个量词的命题的否定，揭示其与一般命题否定的区别. ⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握全称命题与特称命题的判断方法及它们真假的判断方法 ⇒

通过例2及其变式训练，使学生掌握全称命题与特称命题真假的判断方法.

⇒

通过例3及其变式训练，学会对含有一个量词的命题的否定，弄清全称命题、特称命题否定的特点. ⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.

⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

课1.理解全称量词、存在量词的含义．(重点) 标2.掌握全称命题与特称命题的真假判断．(难点) 解3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点) 读

知识点一

【问题导思】

观察下列语句：

(1)2x是偶数；

(2)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．

(3)所有的三角函数都是周期函数．

【提示】

由命题的定义知(1)不是命题，(2)(3)是命题．语句(2)在(1)的基础上，用短语“对于任意一个”对变量x进行限定；语句(3)用短语“所有的”对三角函数进行限定．

全称量词与全称命题

1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．

2．含有全称量词的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记为∀x∈M，p(x).

知识点二

【问题导思】观察下列语句：

存在量词与特称命题

(1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；

(2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．

问题1：以上语句是命题吗？

提示：都是命题．

问题2：上述命题有什么特点？

提示：两命题中变量x0取值有限制，即“存在一个x0∈R”，“至少有一个x0∈R”．

1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，用符号“∃”表示．

2．含有存在量词的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M中的元素x0，使p(x0)成立，记为：∃x0∈M，p(x0)”.

知识点三

【问题导思】

观察下列命题：

(1)有的函数是偶函数；

(2)三角形都有外接圆．

问题1：上述命题是全称命题还是特称命题？

问题2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么？含有一个量词的命题的否定

题型一

全称命题与特称命题的概念

[例1]

判断下列语句是全称命题，还是特称命题．

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

(4)矩形的对角线不相等；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

【自主解答】

(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．

(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

[活学活用] 用全称量词或存在量词表示下列语句：

11(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；

(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；

32(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立；

(4)方程3x－2y＝10有整数解．

解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．

11(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．

32(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．

(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.

题型二

全称命题和特称命题真假的判断

[例2]

指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．

1(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；

(2)存在一个x0∈R，使＝0；

x0－1(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；

(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}．

[解]

(1)是全称命题．因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．

(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使1＝0成立，所以该命题是假命题．

x0－1

(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．

(4)是特称命题．存在A＝{3}，使A[类题通法]

(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．

(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．

[活学活用]

判断下列命题的真假：

(1)p：所有的单位向量都相等；

(2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0；

(3)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋3≤0. 解：(1)p是全称命题，是假命题．

(2)p是全称命题，是真命题．

根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项an≠0，

an＋1所以其公比q＝≠0(n＝1,2,3，…)．

an(3)p是特称命题，是假命题．

{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．

因为对于¬ p ：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0是真命题，这是因为

x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立. 若两个单位向量e1，e2方向不相同，虽然有|e1|＝|e2|＝1，但e1≠e2. 题型三

含有一个量词的命题的否定

[例3]

写出下列命题的否定，并判断其真假．

1(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

43(3)r：∃x0∈R，x20＋4x0＋6≤0；

(4)s：至少有一个实数x，使x＋1＝0.

【思路探究】

(1)以上命题是全称命题还是特称命题？(2)怎样对这些命题进行否定？

1【自主解答】

(1) ¬

p：∃x0∈R，x20－x0＋＜0，假命题．

411x－2≥0恒成立．

因为∀x∈R，x2－x＋＝42(2) ¬

q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(3) ¬

r：∀x∈R，x2＋4x＋6＞0，真命题．

(4) ¬

s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0. 【规律方法】

对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法：

(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．

(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．

(3)否定性质：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．

注意：无量词的全称命题要先补回量词再否定．

[活学活用]

判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：

(1)有一个奇数不能被3整除；

(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；

(3)有些三角形的三个内角都为60°；

(4)每个三角形至少有两个锐角；

(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．

(2)是全称命题，否定为：∃x0∈Z，x20与3的和等于0. (3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°. (4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．

(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．

【课堂小结】

1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．

2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．

3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.