3.1.3 空间向量的数量积运算优秀教学设计

3.1.2空间向量的数乘运算（一）

教学目标：

知识与技能：理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论，掌握空间直线、空间平面的向量方程和线段中点的向量公式；

过程与方法：教师提问、学生探讨、总结，兼用课件演示，增加学生的直观印象．

情感态度与价值观：让学生理解向量的共线（三点共线）、向量的共面（四点共面）定理及其应用，培养学生用联系的观点思考和解决问题，体会数学中的哲学思想。

教学重点：向量共线、共面定理的理解及其应用

难点：向量共线、共面的其应用．

教学过程：

一、复习旧知

空间向量的概念及表示；见学案的学法导引

二

、新课讲解

（1）．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

问题1：两个向量共线，两个向量所在直线是否共线？

2．共线向量定理：

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．

问题2：共线向量定理定理的充分性与必要性分别是什么？

问题3；为什么要强调其中一个向量不为零向量？

推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对空间任一点O，

点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAta

①，

其中向量a叫做直线l的方向向量。

在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②

lPBAa11时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)③

22①和②都叫空间直线的向量表示式，③是线段AB的中点公式．

当t（1）空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定；

（2）利用（2）式可以判定空间任意三点A、B、P共线。

（有三种方式：OPOAtAB，OP(1t)OAtOB，APPB）

例1．设a,b是平面上不共线的向量，AB2akb、

OCBa3b、CD2ab，

若A、B、D三点共线，则k=

。（-8）

例2．如图：ABCD-ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，

判断CE、MN是否共线？

3．向量与平面平行：

已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，

那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的．空间任意的三向量不一定是共面的

4．共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb．

问题4：共面向量定理定理的充分性与必要性分别是什么？

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①， ①式叫做平面MAB的向量表达式．

二

、新课讲解

例3．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

解：由题意：5OPOA2OB2OC，

∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，

∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，

所以，点P与A,B,C共面．

问题5：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OPxOAyOBzOC

（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP(1zy)OAyOBzOC，

∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)，

∴APyABzAC，

∴点P与点A,B,C共面．

练习：（1）已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外一点O，给定的下列条件，点P与A、B、M是否共面？

（1）OPOM3OPOA

（2）OP4OAOBOM

（2）OP2OAOBOM

（3）OP122OAOBOC，

555111OAOBOM

333

例4：习案28的第2题与学案28的第2题

三

、课堂练习

1．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，

（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；

（2）用向量法证明：BD//平面EFGH．

A

E

H

D

F

G

C

B

2．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，

求证：A,B,C,D共面．

四、课堂小结

共线向量定理与共面向量定理

五、课后作业

A组题第1、2题