1.1.2 四种命题课堂实录

1.1.1

命

题

1.1.2

四种命题

学习目标

1.了解命题的概念和分类.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.4.了解命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．

知识点一

命题的概念及分类

思考

下列语句有什么共同特征？

(1)空集是任何集合的子集．

(2)单位向量的模为1. (3)垂直于同一条直线的两条直线平行．

答案

共同特征是：都是陈述句，都可以判断真假．

梳理

(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．

(3)分类

真命题：判断为真的语句命题

假命题：判断为假的语句

知识点二

命题的结构

(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．

知识点三

四种命题

思考

初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？

答案

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．

梳理

四种命题的定义如下表所示

名称

阐释

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和互逆命题

条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的互否命题

否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的互为逆否命题

否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题.

(1)命题均能判断其真假．(√) (2)我们所学习过的定理均为命题．(√) (3)命题：若函数f(x)为区间D上的奇函数，则f(0)＝0，为真命题．(×) (4)命题：若sin A＞sin B，则A＞B，其逆命题为真命题．(×)

类型一

命题的概念及真假判断

命题角度1

命题的概念

例1

判断下列语句是不是命题，并说明理由．

π(1)是有理数；

3(2)3x2≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；

(5)一个数的算术平方根一定是负数；

(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．

考点

命题的定义及分类

题点

命题的定义

π解

(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

3(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

(4)“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．

(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

反思与感悟

判断一个语句是不是命题的三个关键点

(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．

(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．

(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．

跟踪训练1

下列语句是命题的是(

) ①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x＞2；⑤这座山真险啊！

A．①②③

C．①②⑤

考点

命题的定义及分类

题点

命题的定义

答案

A 解析

依据命题定义，得①②③为命题．

命题角度2

命题真假的判断

例2

给定下列命题：

①若a>b，则2a>2b；

②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；

π③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；

2→→④在△ABC中，若AB·BC>0，则△ABC是钝角三角形．

其中为真命题的是________．

考点

命题的真假判断

题点

命题真假的判断

B．①③④

D．②③⑤

答案

①③④

π解析

结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sin x的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，2→→→→→→故③为真命题；又因为AB·BC＝|AB||BC|cos(π－B)＝－|AB||BC|cos B>0，故得cos B<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．

引申探究

→→1．本例中命题④变为：若AB·BC<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？

→→解

不是真命题，AB·BC<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．

→→2．本例中命题④改为：若AB·BC＝0，则△ABC是________三角形．

答案

直角

→→解析

由AB·BC＝0，得∠B＝90°，故该三角形为直角三角形．

反思与感悟

一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．

跟踪训练2

(1)下列命题中假命题的个数为(

) ①多边形的外角和与边数有关；

②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；

③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；

④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0. A．1

B．2

C．3

D．4 考点

命题的真假判断

题点

命题真假的判断

答案

C 解析

因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．

(2)下列命题中为真命题的是(

) A．若x＜e，则ln x＜1 B．若向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c

C．已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列

D．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足acos B＝bcos A，则该三角形为等腰三角形

考点

命题的真假判断

题点

命题真假的判断

答案

D

解析

对于A，需满足x＞0；对于B，若b＝0，其结论不成立；对于C，若an＝0，则结论不成立．

类型二

命题的结构形式

例3

将下列命题写成“若p，则q”的形式．

(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；

(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．

考点

命题的结构形式

题点

改写成标准的若p则q形式

解

(1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．

(2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根．

反思与感悟

将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则

跟踪训练3

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．

(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；

(2)负数的立方是负数；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2. 考点

命题的结构形式

题点

改写成标准的若p则q形式

解

(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题．

(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题．

(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2，是假命题．

类型三

四种命题的概念及真假判断

命题角度1

四种命题的概念

例4

(1)命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的(

) A．逆命题

B．否命题

C．逆否命题

D．等价命题

(2)写出命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题．

考点

四种命题的概念

题点

四种命题定义的应用

答案

(1)A (2)解

逆命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下．

否命题：若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅.

逆否命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上．

反思与感悟

四种命题的转换方法

(1)逆命题：交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．

(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．

(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．

跟踪训练4

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．

考点

四种命题的概念

题点

四种命题定义的应用

解

(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．

命题角度2

四种命题的真假判断

例5

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)若a>b，则ac2>bc2；

(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．

考点

四种命题的概念

题点

判断四种命题的真假

解

(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．

否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．

逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．

(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．

否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．

逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．

反思与感悟

若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．

原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．

在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练5

已知命题“若2m－1＜x＜3m＋2，则1＜x＜3”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．

考点

四种命题的概念

题点

判断四种命题的真假

1答案

3，1

解析

其逆命题为若1＜x＜3，则2m－1＜x＜3m＋2. 2m－1≤1，1该命题为真命题，需满足解得≤m≤1，

33m＋2≥3，

1故m的取值范围为3，1.

1．下列语句为命题的是(

) A．2x＋5≥0

C．0不是偶数

考点

命题的定义及分类

题点

命题的定义

答案

C 解析

结合命题的定义知C为命题．

2．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是(

) A．若a∉A，则b∉B

C．若b∈B，则a∉A

考点

四种命题

题点

四种命题概念的理解

答案

B 解析

命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“∉”互为否定形式．

B．若a∈A，则b∉B

D．若b∉B，则a∉A

B．求证对顶角相等

D．今天心情真好啊

3．命题“若a≥b，则a＋b＞2 017且a＞－b”的逆否命题是(

) A．若a＋b≤2 017且a≤－b，则a＜b

B．若a＋b≤2 017且a≤－b，则a＞b

C．若a＋b≤2 017或a≤－b，则a＜b

D．若a＋b≤2 017或a≤－b，则a≤b

考点

四种命题的概念

题点

按要求写命题

答案

C 解析

将原命题的条件与结论互换的同时，对条件和结论进行否定即得逆否命题．“若a≥b，则a＋b＞2 017且a＞－b”的逆否命题为“若a＋b≤2 017或a≤－b，则a＜b”．故选C. 4．命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为_________．

考点

命题的定义及分类

题点

由命题的真假求参数的取值范围

答案

(－∞，－4]∪[4，＋∞) 解析

由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4. 5．命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．

考点

命题的定义及分类

题点

由命题的真假求参数的取值范围

解

“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．

当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；

当m>0，且Δ＝m2－12m<0，

即00恒成立，

所以0

综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.

1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．

一、选择题

1．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是(

) A．两个平面

B．一条直线

C．垂直

D．两个平面垂直于同一条直线

考点

命题的结构形式

题点

区分命题的条件和结论

答案

D 解析

所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D. 2．下列命题为假命题的是(

) A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．0是偶数

D．5＞3 考点

命题的真假判断

题点

命题真假的判断

答案

B 解析

结合向量的有关知识知A为真命题，B为假命题．C、D显然是真命题．

3．命题“若x2＞1，则x＜－1或x＞1”的逆否命题是(

) A．若x2＞1，则－1≤x≤1 B．若－1≤x≤1，则x2≤1 C．若－1＜x＜1，则x2＜1 D．若x＜－1或x＞1，则x2＞1 考点

四种命题的概念

题点

按要求写命题

答案

B 解析

结合逆否命题的定义知B正确．

4．下列命题是真命题的是(

) A．若ab＝0，则a2＋b2＝0

C．若M∩N＝M，则N⊆M

考点

命题的真假判断

题点

命题真假的判断

答案

D 解析

A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M⊆N.故A，B，C均错误．

5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是(

) A．若a∥b，则α∥β

C．若a，b相交，则α，β相交

考点

命题的真假判断

题点

命题真假的判断

答案

D 解析

D中如果α，β相交，a和b可以相交，也可以异面．

6．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(

) A．|a·b|≤|a||b|

C．(a＋b)2＝|a＋b|2

考点

命题的真假判断

题点

命题真假的判断

答案

B 解析

设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立．故选B. 7．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；

②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；

③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中为真命题的是(

) A．①②

B．②③

C．③④

D．①③

考点

命题的真假判断

题点

命题真假的判断

答案

D B．|a－b|≤||a|－|b|| D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2

B．若α⊥β，则a⊥b

D．若α，β相交，则a，b相交

B．若a>b，则ac>bc

D．若M⊆N，则M∩N＝M

解析

结合线面位置关系易知①③为真命题．

8．对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列说法正确的是(

) A．否命题是“正弦函数是分段函数”

B．逆否命题是“分段函数不是正弦函数”

C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”

D．以上都不正确

考点

四种命题

题点

四种命题的判断

答案

B 解析

否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”，

所以A错误；B正确；C不正确，故选B.

二、填空题

9．有下列命题：

①22 340能被5整除；

②不存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0；

③对任意的实数x，均有x＋1＞x；

④方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根．

其中假命题有________．(只填序号) 考点

命题的真假判断

题点

命题真假的判断

答案

④

解析

易知①②③为真命题，④中Δ＝4－12＜0，方程x2－2x＋3＝0无实根，因而④为假命题．

10．命题“当a＞0，a≠1时，若函数f(x)＝loga

x在其定义域内是减函数，则loga

2＜0”的逆否命题是__________________________. 考点

四种命题的概念

题点

按要求写命题

答案

当a＞0，a≠1时，若loga 2≥0，则函数f(x)＝loga

x在其定义域内不是减函数．

11．已知p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p，q中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是________．

考点

命题的真假判断

题点

由命题的真假求参数的取值范围

答案

(－∞，－2] 解析

p为真命题时，Δ＝4a2－16＜0，

解得－2＜a＜2.

q为真命题时，5－2a＞1，

解得a＜2. －2＜a＜2，当p真q假时，a∈∅. a≥2，a≤－2或a≥2，当p假q真时，即a≤－2. a＜2，

故实数a的取值范围为(－∞，－2]．

三、解答题

12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)当ac>bc时，a>b；

1(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；

4(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0. 考点

命题的结构形式

题点

改写成标准的若p则q形式，并判断命题的真假

解

(1)若ac>bc，则a>b. ∵ac>bc，c<0时，a

1(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．

4∵Δ＝1－4m<0，∴该命题是真命题．

(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0，∴该命题是真命题．

13．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

考点

四种命题的概念

题点

判断四种命题的真假

解

其逆否命题：已知a，x为实数，

若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．

∵a＜1，∴Δ＝(2a＋1)2－4×(a2＋2)＝4a＋1－8＝4a－7＜0，

即不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，

∴原命题的逆否命题是真命题．

四、探究与拓展

14．命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是(

) A．a<0或a≥3

C．a<0或a>3

考点

命题的真假判断

B．a≤0或a≥3 D．0

题点

由命题的真假求参数的取值范围

答案

A 解析

若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是真命题，当a＝0时，3>0符合题意，当a≠0时，则a>0且Δ<0，解得00恒成立”是真命题，故当a<0或a≥3时，命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题．

m＋315．写出命题“当2m＋1＞0时，如果＞0，那么m2－5m＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命2m－1题，并分别指出四种命题的真假．

考点

四种命题的概念

题点

判断四种命题的真假

1解

由2m＋1＞0，得m＞－. 2由m＋31＞0，得m＜－3或m＞，

22m－111又m＞－，所以m＞. 22由m2－5m＋6＜0，得2＜m＜3，

1又m＞－，所以2＜m＜3. 21由此可知，原命题可变为“如果m＞，那么2＜m＜3”，

2显然原命题是假命题．

逆命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6＜0，

m＋3那么＞0”，

2m－11即“如果2＜m＜3，那么m＞”，它是真命题．

2m＋3否命题为“当2m＋1＞0时，如果≤0，

2m－1那么m2－5m＋6≥0”，

2m＋1＞0，m＞－2，因为m＋3所以1≤0，－3≤m＜，2m－1211所以－＜m＜，

22

1

m＞－2，2m＋1＞0，由2得m－5m＋6≥0，

1m≤2或m≥3，

1即－＜m≤2或m≥3，

211所以否命题可表述为“如果－＜m＜，

221那么－＜m≤2或m≥3”，它是真命题．

2逆否命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6≥0，

m＋3那么≤0”，

2m－11则逆否命题可表述为“如果－＜m≤2或m≥3，

211那么－＜m＜”，它是假命题. 22