3.3.1 两条直线的交点坐标教学活动设计方案

第三章

直线与方程

3.3

直线的交点坐标与距离公式

3.3.1

两直线的交点坐标

学习目标

1.理解两直线的交点坐标与两直线方程的关系,两直线的交点个数与两直线方程中系数的关系.

2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

3.知道交点系直线方程,并会简单应用.

合作学习

一、设计问题、创设情境

问题1:已知点A(2,-1),直线l:3x+4y-2=0.点A与直线l的位置关系是怎样的?若点B(a,2)在直线l上,求实数a的值.你解答上面问题的依据是什么?

问题2:已知直线l1:x-y-1=0,l2:x+y-1=0,试判断直线l1,l2是否相交?若相交,请你求出交点坐标,并说明求解的依据;若不相交,请说明理由.

二、学生探索,尝试解决

问题3:这种依据可以推广到一般情形吗?已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交,请同学们看下表,并填空:

几何元素及关系

点A

直线l

点A在直线l上

代数表示

A(a,b) l:Ax+By+C=0

直线l1与直线l2的交点是A

三、信息交流,揭示规律

问题4:请你说出用代数法求两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的过程,以及可能出现的结果.

四、运用规律,解决问题

【例1】

判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标: (1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0; (2)l1:3x-4y+4=0,l2:6x-8y-1=0; (3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.

问题5:由本例中的(2)你能得到,当两直线方程满足什么特征时,两直线平行吗?直线的方程由直线方程中的系数A,B,C决定,当系数具备什么特征时,两直线平行、重合、相交呢?

问题6:由例1中的(3)思考,当λ≠0时,方程λ(3x+3y-10)=0表示的直线与方程3x+3y-10=0表示的直线是否是同一条直线?那么当λ变化时,

方程(x-y)+λ(3x+3y-10)=0表示什么图形?该

图形有何特点?该图形与直线l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0有没有联系呢?请大家探究.

五、变式演练、深化提高

【例2】

已知a为实数,两直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于一点,求证:交点不可能在第一象限及x轴上.

【例3】

求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线l的方程.

六、信息交流、教学相长

问题7:直线是几何图形,而直线方程是代数式子,直线的有关问题可以完全由其代数方程来研究吗?为什么?用方程来研究直线,即用坐标法研究直线,有什么好处呢?

布置作业

课本P109习题A组第1,2,3题,选做第4题.

参考答案

一、问题1:点A在直线l上;a=-2;坐标满足直线方程的点在直线上;直线上任意一点的坐标都是直线方程的解.

-

-

问题2:联立两直线方程,得

-

解得

因此,两直线的交点坐标为(1,0).

求解的依据是:两直线的交点坐标是两直线方程的公共解,即两直线方程构成的方程组的解.

二、问题3:

几何元素及关系

点A

直线l

点A在直线l上

代数表示

A(a,b) l:Ax+By+C=0 Aa+Bb+C=0 点A的坐标是方程组

直线l1与直线l2的交点是A

的解

三、问题4:一般地,将两条直线的方程联立,得方程组

若方程组有唯一解,则两直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两直线平行;若方程组有无数个解,此时两直线重合.

四、【例1】

(1)l1与l2相交,交点M(

);(2)l1与l2平行;(3)l1与l2重合.

问题5:一般地,对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(其中系数满足A2B2C2≠0),可

以得到方程组

(*)有下列结论:

方程组(*)解的情况

两直线的位置关系

系数的特征

唯一解

相交

无解

平行

无数个解

重合

问题6:不难发现该方程是二元一次方程,因此它表示直线.当λ变化时,可以根据λ的不同的具体值,画出相应的直线,发现这些直线始终过直线l1与l2的交点M(

).也可以思考直线方程的

-

的解.

-

即直线(x-y)+λ(3x+3y-10)=0表示过直线l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0的交点除直线l2外的所有直线.

五、【例2】

解:考虑方程组

-

特点反映了直线的特点,通过观察该方程恒有一个确定的解,即方程组

∵l1,l2有交点,∴a≠1.

-

-

∴方程组的解为

-

当a>1时,x<0,y>0;当a<1时,x>0,y<0.

∴点(-

)不可能在第一象限,又∵y=≠0

-

-

-

∴点(-

)不在

-

-

x轴上.

-

- -

【例3】

解:解法一:由

解得

-

即交点坐标为(-

,-

).

又因为l与直线3x+y-1=0平行,故直线l的斜率为-3, 所以直线l的方程为y+

=-3(x+

),即15x+5y+16=0.

解法二:设直线l:2x-3y-3+λ(x+y+2)=0,变形为.

(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.

因为l与直线3x+y-1=0平行,故直线l的斜率为-3, 即- =-3,解得

-

λ=

.

所以直线l的方程为15x+5y+16=0.

六、问题7:可以;因为直线是由点构成的,而直线上所有点的坐标都是方程的解,反之也成

立.所以直线方程与相应直线是完全一样的,只是表现形式不同;可以讲几何图形的位置关系和度量关系,通过代数运算来完成.