2.2.4 平面与平面平行的性质教学设计思路

线面垂直的判定及其性质

学习过程

知识点1：线面垂直的判定定理：a)定理中的

“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了

“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

知识点2：面面垂直的判定定理：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”

，OB⊥L；

（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；

（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平

面的位置关系怎样？

承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β

B

获得两个平面互相垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A

知识点3：线面垂直的性质定理：

1、操作确认

观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—11111111ABCD中，棱AA、BB、CC、DD所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α

、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？

D1

C1

a

b

B1

A1

D α

C

B

A

图2.3-4 图2.3-5 2、推理证明

引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法， 然后师生互动共同完成该推理过程

，最后归纳得出：

垂直于同一个平面的两条直线平行。

知识点4：面面垂直的性质定理：如图，设α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，且AB∩CD＝B，我们看直线AB与平面β的位置关系。

在β内作直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角

α－CD－β的二面角，由α⊥β知，AB⊥BE，又AB⊥CD， BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB⊥β。

一般地，我们得到平面与平面垂直的性质定理。

定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

学习结论

1．线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

2．面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

3．线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

4．面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

典型例题

例1、已知O是△ABC的外心，P是平面ABC外的一点，且PA=PB=PC，α是经过PO的任意一个平面，则（

）

A.α⊥平面ABC

B.α与平面ABC不垂直

C.α与平面ABC可能垂直也可能不垂直

D.以上都不对

答案：A 解析：由O是△ABC的外心，PA=PB=PC可得，PO⊥平面ABC，∴α⊥平面ABC. 例2、如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。

证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有

PA⊥α，BC在α内，

所以，PA⊥BC，

因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径，

所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA 又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，

所以，BC⊥平面PAC，

又因为BC在平面PBC内，

所以，平面PAC⊥平面PBC。

例3、如图，已知平面α，β满足α⊥β，直线a满足a⊥β，aα，试判断直线a与平面α的位置关系。

解：在α内作垂直于α与β交线的直线b，

因为α⊥β，所以b⊥β，

因为a⊥β，所以a∥b，

又因为aα，所以a∥α，

即直线a与平面α平行。

例4、设直线a，b分别在正方体ABCD－A’B’C’D”中两个不同的平面内，欲使

a∥b，则a，b应满足什么条件？

解析：a，b满足下面条件中的任何一个，都能使a∥b，

（1）a，b同垂直于正方体一个面；

（2）a，b分别在正方体两个相对的面内且共面；

（3）a，b平行于同一条棱；

（4）如图，E，F，G，H分别为B’C’，CC’，AA’，AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b，等等