习题2.3教学设计实例

§8.4

直线、平面垂直的判定与性质

1.直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法

①定义法. ②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 2.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法

①定义法. ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.

(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直. (3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.

(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. (5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.

(

×

) (

√

) (

√

) (

×

) (

√

) 2.(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(

) A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n

C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

答案

D 解析

A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确. 3.设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是(

) A.a⊥c，b⊥c

C.a⊥α，b∥α

答案

C 解析

对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b. 4.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是

(

)

B.α⊥β，a⊂α，b⊂β

D.a⊥α，b⊥α

A.相交且垂直

C.异面且垂直

答案

C 解析

在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC. 5.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________. 答案

可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个

B.相交但不垂直

D.异面但不垂直

题型一

直线与平面垂直的判定与性质

例1

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝

60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.

证明：(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE. 思维启迪

第(1)问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD 得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE 内的两条相交直线垂直. 证明

(1)在四棱锥P—ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，

∴PD⊥平面ABE. 思维升华

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S 是

△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明

(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，

所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.

由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC. 题型二

平面与平面垂直的判定与性质

例2

(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，

CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC 的中点.求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD. 思维启迪

(1)平面PAD⊥底面ABCD，可由面面垂直的性质证PA⊥底面ABCD；

(2)由BE∥AD可得线面平行；

(3)证明直线CD⊥平面BEF. 证明

(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. ∴PA⊥底面ABCD. (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

∴AB∥DE，且AB＝DE. ∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD. 又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD. (3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形. ∴BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD，

∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，

又E、F分别为CD、CP的中点，

∴EF∥PD，故CD⊥EF. 由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，

∴CD⊥平面BEF. ∴平面BEF⊥底面PCD. 思维升华

(1)判定面面垂直的方法：

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

(2012·江西)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两

点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.

(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；

(2)求多面体CDEFG的体积. (1)证明

因为DE⊥EF，CF⊥EF，

所以四边形CDEF为矩形. 由GD＝5，DE＝4，得

GE＝GD2－DE2＝3. 由GC＝42，CF＝4，得FG＝GC2－CF2＝4，

所以EF＝5. 在△EFG中，有EF2＝GE2＋FG2，

所以EG⊥GF. 又因为CF⊥EF，CF⊥FG，所以CF⊥平面EFG. 所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG. 又EG⊂平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG. (2)解

如图，在平面EGF中，

过点G作GH⊥EF于点H，

EG·GF12则GH＝＝. EF5因为平面CDEF⊥平面EFG，

所以GH⊥平面CDEF，

1所以V多面体CDEFG＝S矩形CDEF·GH＝16. 3题型三

直线、平面垂直的综合应用

例3

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，

AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45. (1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；

(2)求四棱锥P—ABCD的体积. 思维启迪

(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内

一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD. (2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离. (1)证明

在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，

∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，

BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD. 又BD⊂面MBD，

∴面MBD⊥面PAD. (2)解

过P作PO⊥AD，

∵面PAD⊥面ABCD，

∴PO⊥面ABCD，

即PO为四棱锥P—ABCD的高. 又△PAD是边长为4的等边三角形，

∴PO＝23. 在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，

∴四边形ABCD为梯形. 4×885在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，

545此即为梯形的高. 25＋4585∴S四边形ABCD＝×＝24. 251∴VP—ABCD＝×24×23＝163. 3思维升华

垂直关系综合题的类型及解法

(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.

(2013·江西)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3. (1)证明：BE⊥平面BB1C1C；

(2)求点B1到平面EA1C1的距离. (1)证明

过B作CD的垂线交CD于F，则

BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2. 在Rt△BFE中，BE＝3. 在Rt△CFB中，BC＝6. 在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC. 由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，

所以BE⊥平面BB1C1C.

1(2)解

三棱锥E－A1B1C1的体积V＝AA1·S△A1B1C1＝2. 32在Rt△A1D1C1中，A1C1＝A1D21＋D1C1＝32. 同理，EC1＝EC2＋CC21＝32，

A1E＝A1A2＋AD2＋DE2＝23. 故SA1C1E＝35. 设点B1到平面A1C1E的距离为d，

则三棱锥B1－A1C1E的体积

1V＝·d·＝5d，

3SA1C1E从而5d＝2，d＝.

立体几何证明问题中的转化思想

典例：(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点. 求证：(1)AN∥平面A1MK；

(2)平面A1B1C⊥平面A1MK. 思维启迪

(1)要证线面平行，需证线线平行.(2)要证面面垂直，需证

线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直.

规范解答

证明

(1)如图所示，连接NK. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，

∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]

∵N，K分别为CD，C1D1的中点，

∴DN∥D1K，DN＝D1K，

∴四边形DD1KN为平行四边形.[3分]

∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN. ∴四边形AA1KN为平行四边形.∴AN∥A1K.[4分]

∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，

∴AN∥平面A1MK.[6分]

(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

AB∥C1D1，AB＝C1D1. 10. 5

∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K. ∴四边形BC1KM为平行四边形.∴MK∥BC1.[8分]

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，

BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1. ∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK. ∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]

∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，

∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]

温馨提醒

(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；

(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；

(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.

方法与技巧

1.证明线面垂直的方法

(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

m、n⊂α，m∩n＝A⇒l⊥α；

(2)判定定理1：l⊥m，l⊥n(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

(4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 2.证明线线垂直的方法

(1)定义：两条直线所成的角为90°；

(2)平面几何中证明线线垂直的方法；

(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 3.证明面面垂直的方法

(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 4.转化思想：垂直关系的转化

线线垂直

判定性质判定

线面垂直判定性质面面垂直

性质

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决. 失误与防范

1.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.

A组

专项基础训练

(时间：40分钟) 一、选择题

1.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是

(

) A.l∥m，l⊥α

C.l⊥m，l∥α

答案

C

B.l⊥m，l⊥α

D.l∥m，l∥α

解析

设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α. 2.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，

PM垂直于△ABC所在平面，那么 A.PA＝PB>PC

C.PA＝PB＝PC

答案

C 解析

∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，

∴BM＝AM＝CM，

又PM⊥平面ABC，

(

) B.PA＝PB

D.PA≠PB≠PC

∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，

故PA＝PB＝PC. 3.在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是

(

) A.α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ

B.l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m

C.α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥n

D.α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β

答案

D 解析

对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；

对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；

对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；

对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题.综上所述，选D. 4.正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于

A.A′C′

答案

B 解析

连接B′D′，

∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，

∴B′D′⊥平面CC′E. 而CE⊂平面CC′E，

∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE. 5. 如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且

AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC；

②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其

中正确的是

A.①②

答案

B 解析

对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，

(

) B.BD

C.A′D′

D.AA′

(

) B.①②③

C.①

D.②③

又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；

对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，

∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；

对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确. 二、填空题

6.已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：

①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正确的个数是________. 答案

3 解析

如图所示.∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，

∴PA⊥平面PBC. 又∵BC⊂平面PBC，

∴PA⊥BC. 同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC. 7.在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________. 答案

①②

解析

如图，∵P－ABC为正三棱锥，

∴PB⊥AC；

又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，

∴AC∥平面PDE.故①②正确. 8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号) 答案

②④

解析

若m⊥α，α∥β，则m⊥β. 三、解答题

9.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，

AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三

角形. (1)求证：平面DEC⊥平面BDE；

(2)求点A到平面BDE的距离. (1)证明

因为四边形ABCD为直角梯形，

AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，所以BD＝13，

又因为BC＝7，CD＝6，所以根据勾股定理可得BD⊥CD，

因为BE＝7，DE＝6，同理可得BD⊥DE. 因为DE∩CD＝D，DE⊂平面DEC，CD⊂平面DEC，

所以BD⊥平面DEC.因为BD⊂平面BDE，

所以平面DEC⊥平面BDE. (2)解

如图，取CD的中点O，连接OE，

因为△DCE是边长为6的正三角形，

所以EO⊥CD，EO＝33，

易知EO⊥平面ABCD，

11则VE－ABD＝××2×3×33＝33，

321又因为直角三角形BDE的面积为×6×13＝313，

2设点A到平面BDE的距离为h，则由VE－ABD＝VA－BDE，

1339得×313h＝33，所以h＝，

313339所以点A到平面BDE的距离为. 1310.(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1

的中点. 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE. 证明

(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F. 又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1.

由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

所以A1F∥平面ADE. B组

专项能力提升

(时间：30分钟) 1.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则

(

) A.β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直

B.β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

C.β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直

D.β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

答案

C 解析

如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与

之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在. 2.(2012·江苏)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3

cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________ cm3. 答案

6 解析

连接AC交BD于O，在长方体中，

∵AB＝AD＝3，∴BD＝32且AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC. 又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，

132∴AO为四棱锥A－BB1D1D的高且AO＝BD＝. 22∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝32×2＝62，

1∴VA－BB1D1D＝S矩形BB1D1D·AO

3132＝×62×＝6(cm3). 32

3.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，

PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③

直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上). 答案

①④

解析

由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，

又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，

得AE⊥平面PAB，

又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；

∵平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；

由正六边形的性质得BC∥AD，

又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD，

∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；

在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，

∴④正确. 4.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴转动. (1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；

(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论. 解

(1)取AB的中点E，连接DE，CE. ∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时，

∵平面ADB∩平面ABC＝AB，

∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE. 由已知可得DE＝3，EC＝1. 在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2. (2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：

①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，

∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又∵AC＝BC，∴AB⊥CE. 又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE. 由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD.

5.如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻

折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图2所示. (1)求证：BD⊥平面POA；

(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积. (1)证明

因为菱形ABCD的对角线互相垂直，

所以BD⊥AC.所以BD⊥AO. 因为EF⊥AC，所以PO⊥EF. 因为平面PEF⊥平面ABFED，

平面PEF∩平面ABFED＝EF，

且PO⊂平面PEF，

所以PO⊥平面ABFED. 因为BD⊂平面ABFED，所以PO⊥BD. 因为AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA. (2)解

设AO∩BD＝H. 因为∠DAB＝60°，

所以△BDC为等边三角形. 故BD＝4，HB＝2，HC＝23. 设PO＝x，

则OH＝23－x，OA＝43－x. 连接PH，OB，由OH⊥BD，得OB2＝(23－x)2＋22. 又由(1)知PO⊥平面BFED，则PO⊥OB. 所以PB＝OB2＋OP2＝23－x2＋22＋x2

＝2x－32＋10. 当x＝3时，PBmin＝10，此时PO＝3＝OH，

所以V1四棱锥P－BDEF＝3×S梯形BDEF×PO

＝1×(3×42－3×22344)×3＝3.