3.2.2 直线的两点式方程教案和课堂实录

3.2.2 直线的两点式方程

一、复习、引入

k为斜率，

P0(x0 ,y0)为经过直线的点

，k为斜率，b为截距

斜截式：y=kx+b 点斜式：

y- y0 =k(x- x0 ) 巩固

例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程．

一般做法：

解：一般做法：设直线方程为：y=kx+b.｛k+b=3,2k+b=4｝

所以，直线方程为: y=x+2 化简得：

x-y+2=0 为什么可以这样做，这样做的根据是什么？

动点轨迹法解释：设P(x,y)为直线上不同于P1 ，

P2的动点，与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上，根据斜率相等可得：

kPP1= kP1P2 得:y=x+2 二、直线两点式方程的推导

已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过这两点的直线方程．

解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 ，

P2的点．

∵

kPP1= kP1P2 记忆特点：左边全为y，右边全为x

两边的分母全为常数

分子，分母中的减数相同

是不是已知任一直线中的两点就能用两点式

写出直线方程呢？

不是!两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．

注意：当x1 ＝x2或y1= y2时，直线P1 P2没有两点式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时，两点式的分母为零，没有意义) 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢？

三、两点式方程的适应范围

若点P1 （

x1 , y1 ），P2（

x2 , y2）中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么？

当x1 ＝x2 时,

方程为：

x ＝x１

当

y1= y2时,

方程为：

y= y１

例2：如图，已知直线

l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．

解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得：

即

四、直线的截距式方程

是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？

注意：①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线

②截距可是正数,负数和零

③直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距

直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距

练习：⑴

过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?

解: ⑴

两条

那还有一条呢？

y=2x (与x轴和y轴的截距都为0) 所以直线方程为：x+y-3=0 或y=2x 例3:

过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 解：三条

解得：a=b=3或a=-b=-1 直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x 中点坐标公式：

若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x,y).x=

y=

五、直线方程的应用

例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线

方程，以及该边上中线的直线方程。

解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：整理得：5x+3y-6=0 这就是BC边所在直线的方程。

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：M(

)即M(

) 整理得：x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程。

小结：⑴两点式直线方程

⑵两点式直线方程的适应范围

⑶中点坐标公式

作业：P97

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授课完毕