3.1直线的倾斜角与斜率（通用）精品学案

直线的倾斜角与斜率

【教学目标】

知识与技能：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）会求过两点的直线的斜率；

过程与方法：（1）经历倾斜角与斜率概念的形成过程,初步领悟解析几何思想；

（2）借助过两点的直线斜率公式的推导过程，进一步渗透分类

讨论思想；

情感态度价值观：通过情境贯串教学，让学生感知数学来源于生活，又应用

于生活，从而激发学生的学习激情. 【教学重点和难点】

重点:

直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率计算公式

难点:

过两点的直线斜率公式的推导过程

关键点：借助问题情境的创设，设置学生活动；

借助几何画板的演示，体验知识的形成过程. 【教学方法】

教法:

情境教学法 问题驱动法 演示实验法

学法: 观察讨论法 自主探究法 类比归纳法

【教学用具】

多媒体、几何画板

【教学过程】

教学过程

教师分享.

教师巡视指导学生作图. 教师

活动

学生

活动

设计

意图

创设情1.以五一出游经过苏通大桥，介绍大桥；

境

︵约2.请各同学在活动纸上作出相应的斜拉索4所在直线. 分钟︶

学生谈活跃课堂自己的氛围，也为观后感. 新知的导出埋下伏学生审笔，让学生题，规范在愉悦的作图. 环境中获取新知.

展示苏通大桥图片及部分的斜拉索所在直

线.

教师借助媒体展

示图片节斜拉索

所在直线.

▪p300

-3000500108813881488

以1.情境——设疑

境

问题1：由图片数据，你能获得哪些信息？

导

学

问题2：建立以大桥桥面为横坐标轴，左侧教师评价、补充.

桥塔为纵坐标轴的直角坐标系，教师巡视指导学生︵画出如图位置几条斜拉索所在直作图，并将所有直约线。思考：左侧两条所在直线是线的情形归为二类30大桥的什么位置？

并屏显. 分问题3：请画出另一个桥塔右侧300米和钟

400米两个位置处的斜拉索所在直线？

︶

展示：

（1）直线倾斜角的定义：当直线l与x轴教师引导学生探

相交，取x轴作为基准，x轴正向与索直线之间的区

直线l向上方向之间所成的角α叫别，从而引出直线

做直线l的倾斜角. 倾斜角的概念. （2）注意点：①直线向上方向；

②x轴正半轴；③最小正角；

教师强调直线倾（3）规定：与x轴平行或重合时的直线倾斜角定义中的注斜角为零；

意点及规定. 探究一：直线倾斜角的定义及范围

学生观察图像.

学生思考、踊跃作答.

学生思考、作图，并回答直线之间的区别.

学生领悟要点. 导入苏通大桥这一生活材料，让学生体会生活问题数学化，营造良好的教学氛围.

开放式的问题更能点燃学生创新思维的火花.

通过分析图，培养学生的识图、作图能力.

教师引导学生观播放几何画板，演示直线绕点P的旋转过程.

察直线倾斜角大小与直线陡缓程展示：

度的关系，并探索（1）根据直线分类所得倾斜角的四种情形：

直线倾斜角的范围.

师问：根据直线的分类，可以将直线（2）直线倾斜角的范围： 倾斜角分成几种0180,即[0,180)

情形？

3.练习——答疑

练习1：1.测量图中x轴-400处所在直线教师巡视指导学AB的倾斜角练习

以生寻找并测量直2.按要求作图：

境线的倾斜角及规过点P作一条倾斜角为60的直线. 导范学生作图. 学

︵

探究二：直线斜率的定义及直线倾斜角与约

斜率之间的关系

30

分

钟1.情境——设疑

在日常生活中我们经常会遇到上坡︶

问题4：下坡问题，那么对于斜坡的倾斜程度

可以用什么量来反映？

展示：

教师引导学生类比坡比概念结合正切函数引出直线斜率的概念.

教师强调直线斜率的定义及注意点. 2.媒体——析疑

学生观察几何画板的演示.

学生分析，将形成的直线类型作于活动纸上.

学生测量直线倾斜角并作图.

.

学生领悟. 升高量坡比（1）坡比公式： 前进量；

（2）直线斜率的概念：倾斜角α的正切

值叫做直线l的斜率. （3）注意点：直线倾斜角为90时，直线斜率不存在. 几何画板的动态演示让学生直观感受倾斜这一几何量的形成过程，体悟知识的形成过程.

通过“找—量—画”三个环节，正逆运用新知，有效检测学生的新知落实情况,也为探究二的学习埋下伏笔.

通过问题驱动,让学生观察、类比得出斜率的概念，培养学生的知识迁移能力；并体验从直观到抽象的过程.

以境导学

︵约30分钟︶

2.媒体——析疑

（1）

完成下表：

角0度

斜率

（2）观察表中数据，阐述直线倾斜角与直线斜率之间的变化关系. 4590135

33

3

3



33

教师复习特殊角的正切函数值.

教师引导学生观察表格，寻找直线（3）播放几何画板，演示直线倾斜角与斜倾斜角与斜率之间的关系. 率之间的关系.

展示：(1)直线倾斜角与斜率之间的关系

教师引导学生运用分类讨论思想来探索直线倾斜角与斜率之间的(2) 当090，倾斜角越大，斜率越大；

关系. 当90，斜率不存在；

当90180，倾斜角越大，斜率越大.

3.练习——答疑

教师纠正学生易练习2：

问题大挑战. 混淆的概念. ①是否每条直线都有斜率？ ②是否每条直线都有倾斜角？ 教师巡视指导学③直线倾斜角越大，直线斜率是否越大？ 生计算直线的斜练习3：根据探究一所得直线AB的倾斜角，率. 计算直线AB的斜率

探究三：过两点的直线斜率公式

截取图中一条直线

教师一条直线，再▪Q次展示情境. ▪P(x1,y1)

学生完成表格.

学生观察数据，积极思考，分享成果.

学生领悟直线倾斜角与斜率之间的关系.

学生思辨并作答，领悟知识要点.

学生计算.

学生观察图像.

填表有效检测学生对特殊角正切函数值的落实情况.

利用几何画板动态直观展示直线倾斜角与斜率之间的关系，有助于学生加深对理解.

通过三个易混淆的概念判断，有利于进一步强化概念；练习2的设计，落实知识重点，也为探究三知识的验证埋下伏笔. M300-400-3000

以境导学

︵约30分钟︶

学生思换题设设问题5：在没有量角器的情况下，已知直线考、计置引文，两点坐标，如何求直线PQ的斜率？

算、作形成认知教师板演当倾斜答. 冲突，激设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，推导当倾斜角为锐角时过两起学生的

角为锐角时过两点的直线斜率公式. 点的斜率公式： 求知欲. 学生讨

问题6：若直线倾斜角为钝角，公式成立吗？

ky2y1 x2x1论并交

问题7：若改变P、Q两点的顺序，公式成教师引导学生猜流猜想通过连续立吗？

想结果. 结果. 追击疑

问，借助2.媒体——析疑

学生观媒体直观 几何画板，动态演示直线倾斜角为钝角教师播放媒体，将看演示，展示，有的情况以及改变P、Q两点的顺序的情形. 倾斜角为钝角的验证猜证明过程留给学利于过两想. 问题8：

当直线平行x轴，公式还适用吗？

生作为课后作业，点斜率公问题9：当直线平行y轴，公式还适用吗？

从代数的角度分式这一知学生思析两点顺序不影识点的完展示：（1）过两点的直线斜率公式: 考、讨论yyyy响直线斜率的公善，增强k2112(x1x2)

并作答，x2x1x1x2式. 学生思维领悟过的严密（2）过两点直线斜率公式的注意点：

两点直x1x2时，斜率不存在；

教师分析公式，强性. ★当 线斜率y1y2时，斜率为零； 调两个注意点.

当 公式的

★斜率与两点坐标顺序无关. 要点.

3.练习——答疑

通过方法练习：1.在统计图中，直线PQ的斜率为多

学

总结，形成少？

完备的知

2：判断经过以下两点的直线的斜率是否存

识体系. 在．若存在，求出它的值，并画图。

（1） Q(3，2)，P1(-1，-3) 教师引导学生总

（2） Q(3，2)，P2(5，-2) 结计算直线斜率（3） Q(3，2)，P1(-3，2) 的方法. 生计算（4） Q(3，2)，P1(3，-2) 归纳.

1.情境——设疑

教师提示学生转化到直角三角形中求解. 总结:求直线斜率的方法.

现欲加工如图所示零件，根据零件标注

的要求，采用手动编程完成该零件，在用学手工编程过程中，以O点为坐标原点进行，则需要计算以以编程，A点坐标为（0，15）致下内容才能完成手工编程：

若直线AB的斜率为1，则点B的坐标用

（1）为多少？

︵（2）尺寸如图所标，求直线CD的斜率是约多少？

5分钟︶

本着“以服务为宗

旨，以就教师引导学生分学生积业为导析编程中的数据，极思考向”的教结合过两点的直并解答. 学理念，线斜率公式解决注重数学问题。

与专业知识的有机融合，培养学生实践应用能力.

自主小结︵约

4分钟︶

课后作业

︵约2分钟︶

今天你收获了什么？

教师屏显本节课的知识结构及思想方法.

学生自主梳理知识. 启发式课堂小结，学生自主归纳新知，培养学生的概括能力以及口头表达能力. 展现：

（1）相关概念：直线倾斜角定义；直线斜率定义；过两点的直线斜率公式. （2）思想方法：

数形结合、化归、分类讨论. 为适应不同层次学生y需求设置有层次性的l21. 完成课本P71的练习1、2、3；

l1习题.练习1，较为简212. （1）如图，直线的倾斜角为30，

单，增强学生的学习Ox信心；练习2，拓宽直线l1l2，求l1,l2的斜率；

学有余力学生的知识（2）直线过点A(a,2)与B(3,1),斜率为1，求a. 面；练习3，培养学选做题：

生的自主探究能力，探究：推导当直线倾斜角为钝角时，过两点的直线斜率公式. 体现分层教学思想. 必做题：

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