1.1.2 简单组合体的结构特征教学设计(第一课时)

空间向量体积比

——类比思想在交汇知识中的妙用 赵艳丽 （滁州市定远县定远中学，15856654630@139.com）

摘

要：人类的求知欲，促使着人类向未知的领域不断迈进，将探索的触角伸向更为广阔的天地。类比思想就像指引我们前行的灯塔，为我们的探索指明了方向。因此，类比推理在高考中的地位也是逐年提升，难度升级。平面向量与空间向量有诸多相似之处，学习空间向量时若能与平面向量类比，往往会收到事半功倍的效果。

关键词：平面向量面积比，类比思想，空间向量体积比，重心，推广

引

言：平面向量面积比问题，是小题中的难题，在高考、竞赛试题中时有出现。对此，我们有一般结论：“若P为ABC内一点，且APABAC，则SPAB:SPAC:SPBC：SABC.”可以帮助我们在有限的考试时间里，::(1)1：高效地解决这类问题。类比二维形式，我们可以大胆猜想上述结论可能有三维形式。

本文就以二维形式的平面向量面积比问题到三维形式的空间向量体积比为契机，带领大家来感受一下类比的妙用与实用。

三维猜想1：若P为空间四面体A-BCD内一点，且APABAC+AD,则VPACD:VPABD:VPABC:VPBCD:VABCD::（:1---）:1.

探索论证：过点P作PH∥AD交平面ABC于H,再过点H作HE∥AC,HF

∥AB分别交AB于E,AC于F；连接HA，然后过点P作PG∥HA交AD于G,

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则APAHHPAEAFAGAEABABAFACAC+AGADADABAC+AD,AGAFVPABCVGABCVPACDAEVPABD故,同理,.观图易VDABCVDABCVBACDABVCABDACAD得，VPACD:VPABD:VPABC:VPBCD:VABCD::（:1---）:1. P为空间四面体A-BCD内一点，应用1：且APxAByACzAD.若P,B,C,D四点共面，则xyz1. 证法1：由题P,B,C,D四点共面P是空间四面体A-BCD中面BCD上一点VPBCD0.即VPACD+VPABD+VPABCVABCD.故即xyz1. VPACDVPABDVPABCVABCD

++1，VABCDVABCDVABCDVABCD我们可以发现，本题结论其实是平面形式“P为ABC内一点，且APxAByAC，若P,B,C三点共线，则xy1.”的空间推广。我们甚至可以联想到二维结论的论证方法，从而得到三维形式的推导新法。

证法2：由平面向量基本定理知，P,B,C,D四点共面DPxDByDC

APADx(ABAD)y(ACAD)APADx(ABAD)y(ACAD)APxAByAC（1xy）AD.由空间向量基本定理易知z1xy，即xyz1. 这让我们再次见识到类比推理的强大。同时，我们知道三角形的重心比较特别，总是将中线分为长度比值为2:1的上下两段。所以，若P为ABC的重心，则AP11ABAC.接下来，我们就一起来探究一下重心在空间结论中的应用。

331. 3探究1：若P为BCD的重心，且APxAByACzAD,则xyz由应用1知，xyz1.又P为BCD的重心SPCDSPBDSPBC

VAPCDVAPBDVAPBCVPACD:VPABD:VPABCx:y:z1:1:1.故xyz1. 32

探究2：若P为空间四面体A-BCD的重心，且APxAByACzAD,则xyz1. 41V由P为空间四面体A-BCD的重心VPACDVPABDVPABCVABCDPACD

4VABCD1VPABDVPABC1.结合应用1易知，xyz. 4VABCDVABCD4111111此时，APABACAD.又APABACAD4APABACAD

444444(APPB)(APPC)(APPD)PAPBPCPD0.即，若P为空间四面体A-BCD的重心，则PAPBPCPD0.这也是平面形式“若P为ABC的重心,则PAPBPC0.”的空间推广。

易知，逆命题“若PAPBPCPD0，则P为空间四面体A-BCD的重心。”也成立。由此，我们可以大胆猜想，得到空间向量体积比的另一结论。

三维猜想2：若P为空间四面体A-BCD内一点，若mPAnPBsPCtPD0,则VPBCD:VPACD:VPABD:VPABC:VABCDm:n:s:t:(mnst). 探索论证：

mPAnPBsPCtPD0mAPnPBsPCtPDn(ABAP)s(ACAP)

t(ADAP)nABsACtAD(nst)AP(mnst)APnABsACtAD故APnstABACAD（显然mnst0）.

mnstmnstmnstmnVPBCD:VPACD:VPABD:VPABC:VABCD:由三维猜想1知：

mnstmnstst:::1，即VPBCD:VPACD:VPABD:VPABC:VABCDm:n:s:t

mnstmnst:(mnst). 这也是平面形式“若P为ABC内一点，且mPAnPBlPC0，则SPBC：SPAC：SPAB：SABCm:n:l:(mnl).”的空间推广。

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应用2：若P为空间四面体A-BCD内一点，且PA+2PB3PC4PD0，则VPBCD:VPACD:VPABD:VPABC=

. 解：PA+2PB3PC4PD0VPBCD:VPACD:VPABD:VPABC=1:2:3:4. 在探索的过程中，我们会发现各个结论的逆命题可能也是成立的。本文重在类比思想在二维平面向量面积比到三维空间向量体积比切换中的应用，此处不再赘述。感兴趣的读者不妨一试。

参考文献

[1]赵艳丽：《平面向量面积比问题的探究与应用》，《教学考试》2017年第6期。

[2]黄旭东：《空间向量基本定理的体积形式》，《中学数学研究》2015年第5期。

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