3.1.2 导数的概念课件配套优秀获奖教案

§3.1.1—§3.1.2变化率及导数概念

一.

学习目标: 知识与技能:了解导数的实际背景,理解平均变化率的概念;了解瞬时速度.瞬时变化率的概念;会求函数在某点的导数. 过程与方法:体会平均变化率的思想及内涵;理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数, 体会导数的思想及内涵. 情感态度与价值观:是学生拥有豁达的科学态度,互相合作的风格,勇于探究,积极思考的学习精神. 二.

学习重点.难点: 重点:在实际背景下直观的实质的理解平均变化率,会求函数在某点的导数. 难点:对导数概念的应用. 三.

学习过程: (一)学习背景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1.已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2.求曲线的切线;3.求已知函数的最大值与最小值;4.求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、 最有效工具.导数研究问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. (二)新课学习

1.问题的提出

问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? h 分析： (1)当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 (2)当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出： 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球平均膨胀率是多少? ot

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0t0.5和1t2的平均速度v

65这段时间里的平均速度,并思考以下49问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度探究: 计算运动员在0t描述运动员的运动状态有什么问题吗？

2.平均变化率概念

f(x2)f(x1)①.上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数x2x1f(x)从x1到x2的平均变化率. ②.若设xx2x1, ff(x2)f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf则平均变化率为

xxx2x1x思考: 观察函数f(x)的图象

ff(x2)f(x1)平均变化率表示什么? xx2x1

例1 已知函数f(x)x2x的图象上的一点A(1,2)及

y . 临近一点B(1x,2y)则x

3.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况: Δt<0时,在[2+Δt,2]这段时间内

Δt>0时, 在[2,2+Δt]这段时间内

vh(2)h(2t)h(2t)h(2)=－4.9Δt－13.1

v=－4.9Δt－13.1 tt当Δt =0.01时, v= 当Δt =0.001时, v= 当Δt =0.0001时, v= 当Δt =0.00001时, v= 当Δt =0.000001时, v= …….

当Δt

=－0.01时, v= 当Δt

=－0.001时, v= 当Δt

=－0.0001时, v= 当Δt

=－0.00001时, v= 当Δt

=－0.000001时, v= ………. 思考: 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？

4.导数的概念

函数f(x)在xx0处的瞬时变化率limf(x0x)f(x0)flim即x0x0xxf(xx)f(x0)yf(x)在xx0处的导数,记作f(x0)lim0(也可记为x0x0yxx)

说明: (1)导数即为函数 (2)xyf(x)在xx0处的瞬时变化率; xx0,当x0时,xx0,所以

f(x)f(x0)f(x0)lim. xx0xx05.典型例题

例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:C)为f(x)x27x15(0x8),计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

注: 一般地,f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况. 练习：在例2中,计算第率,并说明它们的意义.

6.课后反思: 3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化