习题4.2课堂实录及点评

第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系（教学设计）

一、课前回顾

1.点p(x0,y0)到直线AxByC0的距离公式d2．圆的定义及方程

定义

标准方程

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C：(a，b) 半径：r

DE－，－

圆心：22D2＋E2－4F半径：r＝

2Ax0By0cAB22

一般方程

x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 223.点与圆的位置关系

(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．

(2)三种情况

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，

①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；

②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；

③(x0－a)2＋(y0－b)2

二、本节目标

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.直线与圆的位置关系的简单应用．

三、高考试题及其对应点

考点一：直线与圆的位置关系

(1)三种位置关系：相交、相切、相离．

(2)两种研究方法：

[典题1]

(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(

) A．相交

B．相切

C．相离

D．不确定

mx－y＋1－m＝0，解:(1)法一：由2消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，

2x＋y－1＝5，

因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．

法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝|m|<1<5，故直线l与圆相交．

m2＋1法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．

变式：直线4x＋3y＝40和圆x2y2100的位置关系是(

) A．相交

B．相离

C．相切

D．无法确定

40解析：选A

因为d＝＝8<10＝r，所以直线与圆相交．

5解决这一问题最好的方法：

（1）判断直线与圆的位置关系时，通常利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，注意求距离时直线方程必须化成一般式．

（2）联立直线方程与圆的方程，再用判别式进行判断。

[典题2]：圆x2y29上有三个点到直线4x＋3y+c＝0的距离为1，求c的值

解：据题意可得：圆心到直线4x＋3y+c＝0的距离为d,则d+1=r，

dc432222c5c10c10,,

变式：圆xy9上有四个点到直线4x＋3y+c＝0的距离为1，求c的取值范围

解：据题意可得：圆心到直线4x＋3y+c＝0的距离为d,则d+1

dc4322c5c1010c10,,

解决这一问题的最好方法：

若圆上有两个点到直线的距离为a,则d+a>r 若圆上有三个点到直线的距离为a,则d+a=r 若圆上有四个点到直线的距离为a,则d+a

四、当堂检测

1．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(

) A．－2或12

B．2或－12 C．－2或－12

D．2或12 3b解析：选D

法一：由3x＋4y＝b得y＝－x＋，

44代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，

并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，

Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，

解得b＝2或b＝12. |3×1＋4×1－b|法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以32＋42＝1，解得b＝2或b＝12. 2.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．求k的取值范围；

解：由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1. |2k－3＋1|4－74＋7因为直线l与圆C交于两点，所以<1，解得

解析：设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，当直线l与圆相切时，k有最|2k－4k|133大值或最小值．由＝1得k2＝，∴k＝±.故斜率的最小值为－. 333k2＋1

五、课后小结

1、判断直线与圆的位置关系

几何法：圆心到直线的距离为d,圆的半径为r 相离dr相切dr相交dr

代数法：联立直线与圆的方程

相离0相切0相交0

六、课后作业

1．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为(

) A．33

B．23

C.3

D．1 解析：选B

圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝所以|AB|＝23. 2．(2016·泰安模拟)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与

x

轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为________．

解析：由题意知圆心C(－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离

d＝32，由两圆相外切可得R＋22＝d＝32，即圆C的半径R＝2，故圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2. 答案：(x＋1)2＋y2＝2 3．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22 时，求直线l的方程．

解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方，得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|3＝2，解得a＝－. 4a2＋1|0＋0－5|AB2＝22－12＝3，＝1，因为232＋42(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

，a＋1得|CD|＋|DA|＝|AC|＝2，|AB|＝2，|DA|＝12|CD|＝22222|4＋2a|

解得a＝－7或a＝－1. 故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.