1.1.3 四种命题间的相互关系教学内容分析

1.1.3四种命题间的相互关系

教学目标

1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假；

2.让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力。

教学重点：会写四种命题并会判断命题的真假、四种命题之间的相互关系。

教学难点：命题的否定与否命题的区别、写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；

教学过程

一、复习引入

初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？

思考：

1.下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

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二、讲授新课

1.四种命题定义

定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

学生举例老师明晰：

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题；

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题。

原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

2.四种命题的形式

思考：

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若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

明晰：

原命题：若P，则q．则：

逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）

逆否命题：若￢q，则￢P．

三、实际应用

例1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：

（1）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；

（2）若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；

（3）若x2=1,则x=1；

（4）若整数a是素数，则是a奇数。

结合以上练习完成下列表格：

原 命 题

真

假

逆 命 题

真

假

否 命 题

假

真

3 逆

否 命 题

真

假

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

由此会引起我们的思考：一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

例2.证明：若p2

＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2。

证明：若p ＋ q ＞2，则

p2

＋ q2

＝［（p －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞×２２＝２

所以p2

＋ q2≠2．

这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

练习巩固：证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．

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