小结优秀公开课教案

数学既是一种文化、一种“思想的体操”，更是现代理性文化的核心。

圆锥曲线习题课

--从一道教材例题到高考题的延伸

屈直桂 高中数学

【教材分析】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题常涉及的题型有：求中点弦所在直线方程，求弦中点轨迹方程，当弦长为定值时,弦中点的坐标问题,关于弦中点的是否存在问题, 这类问题的基本解法为“设而不求、整体代换”。在2018全国三卷理科试题中有16,20,22三道试题，文科试题有20,22两道试题对这个问题进行考查。

【学情分析】学生已经学习了求轨迹方程的方法以及圆、椭圆、双曲线的标准方程、简单几何性质及处理有关直线与圆锥曲线问题的一般方法。本节课通过一道教材例题及一系列探究发现二次曲线弦中点坐标与其斜率之间的密切关系. 【渗透生涯内容】数学既是一种文化、一种“思想的体操”，更是现代理性文化的核心。不管学生以后是否从事与数学有关的工作，数学对他们的生活工作都有着宏观和微观的影响。通过本节课的学习，训练学生的思维，培养学生学会类比，学会归纳，发现知识与方法之间的内在联系，体会高考试题与教材例习题有着千丝万缕的关系。

【教学重难点】重点：弦所在直线斜率相关结论的应用 难点：弦所在直线斜率的推导过程及相关结论的应用

【授课年级】高2017级2班

【教学策略】类比探究、启发引导

【教学准备】课前印发北京大学数学科学学院张恭庆教授的文章:《数学的意义》给学生阅读，让学生体会数学的重要性。

【教学过程】

一、课前学习交流

二、课堂引入：教材选修1-1P35例3：

数学既是一种文化、一种“思想的体操”，更是现代理性文化的核心。

x2y2答案：1x5 注意挖点

100259三、探究与发现：

44b2探究一：与椭圆方程中的a,b,c有什么关系？-2

99a1x2y21b2探究二：若斜率之积改为-?M的轨迹方程是什么？1x5,且-2254254a4

4探究三：P48教材探究:若斜率之积改为呢?

9

x2y24b2M轨迹方程是：1x5且2

100259a9探究四：教材例3反过来成立吗？x2y2即椭圆1上任意一点M(不是长轴的端点)与长轴的两个端点A,B的连线的斜率之积1002594是否为常数？如果是，这个常数是多少？ 9

x2y2性质1:椭圆221(ab0)上任意一点M(不是长轴的端点)与长轴的两个端点A,B的abb2连线的斜率之积为-2（或者e21）.a

x2y2类似的:双曲线221(a,b0)上任意一点M(不是左右顶点)与实轴的两个端点A,B的abb2连线的斜率之积为2（或者e21）.a

数学既是一种文化、一种“思想的体操”，更是现代理性文化的核心。

2x2y2akMAkMB2

如果焦点在y轴上呢？221ab0baby2x2a2-21a0，b0kMAkMB2

2abbx2y21长轴的两个端点，C,D是垂直于AB的弦的端点，例1：设A,B是椭圆94则直线AC与BD的交点M的轨迹方程是___________ 常规解法：设M（x,y），C(x0,y0), D(x0,y0)，因为A(-3,0) ，B(3,0), 可写出AC，BD方程，联立解得x0,y0 代入椭圆方程即可得到点M轨迹方程。

解法二：设M（x,y）

CDx轴，kMBkMDkCBkMBkMAkCBkCA

b24x2y22，易知M的轨迹方程为（1x3)a994

探究五：两顶点换成任意两个关于原点对称的点，kMAkMB还会是定值吗？分析：当x1x0,且MA,MB斜率均存在时kMAkMB2y1y0y1y0y0y12

2x1x0x1x0x0x12x12y12122x12x0y12y0b2a2b2相减得：20，当x1x0,且斜率存在时，kMAkMB2222abax0y01a2b2x2y2性质2:若A,B是椭圆221(ab0)上关于原点对称的两个点,M是椭圆上任一点,abb2则直线MA,MB的斜率之积为-2(或e21).a

探究六：如果ab？

数学既是一种文化、一种“思想的体操”，更是现代理性文化的核心。

探究七：前面的性质均可类比圆获得，那么椭圆中动弦AB的斜率与谁有关呢？x2y2点差法：若A,B是椭圆221(ab0)上的两个点,Mx0,y0是弦AB的中点,则由abb2x0y0y00b2b2点差法可知kAB2kAB2kABkABkOM2.ay0x0ax00a

例2、（2018高考全国三卷文理20题）已知斜率为的直线与椭圆于、两点，线段（1）

证明：证明：设

，，则，

的中点为。

交两式相减并由又由AB中点为M得

3k4m由点M在椭圆内得得，

，∴， ，故

x2y2练习1（2013高考全国1卷10）已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，ab过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ D ）A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1

453636272718x2y2x2y2x2y2D．x218＋＝1 9y2练习2（2015高考全国2卷20题）已知椭圆C:9x2y2m2m0直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M. (1)证明直线OM的斜率与l的斜率之积为定值.

数学既是一种文化、一种“思想的体操”，更是现代理性文化的核心。

xy1(ab0)上关于原点对称的两个点,P是椭圆上任a2b2b2一点,则直线PA,PB的斜率之积为-2(或e21).a性质2：若A,B是椭圆22

x2y2性质3：若A,B是椭圆221(ab0)上(不是长轴的端点)两个点,M是AB的中abb2点,则直线AB,OM的斜率之积为-2(或e21).a

【归纳总结】性质联系（一）：

性质联系（二）：

数学既是一种文化、一种“思想的体操”，更是现代理性文化的核心。

【附件材料】北京大学数学科学学院张恭庆教授《数学的意义》

【课后作业】1.活页圆锥曲线综合第一课时

x2y22.已知O为坐标原点，A,B为双曲线C:221a0,b0上的两点，且abOAOB0.若双曲线C上与A,B两点横坐标不相同的任意一点P满足kPAkPB2，则双曲线C的离心率为__________. x23.（2017届北京高考模拟测试）已知椭圆C:y21的左右顶点分别是A,B，2设P略

2,tt0，连接PA交椭圆于点C，O为原点，（1）求证：OPBC;(2)