3.1直线的倾斜角与斜率（通用）课堂实录

课题:直线的倾斜角和斜率(第一课时)

人教版

第二册(上)

§3.1.1

一、教材与学生数学现实的分析

1．教材分析

本章教材是在我们掌握了平面直角坐标系中函数的图象、向量的坐标表示、线段的定比分点、三角函数及平移等知识的基础上学***面解析几何的开始，学生将重新以坐标化（解析化）的方式来研究直线、曲线的相关性质。

本节中，直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，也是直线的重要几何要素。直线的倾斜角是直观刻画其方向的量，直线的斜率是进一步表示直线位置的重要特征数值。另外，本节也初步向学生渗透解析几何的基本思想和基本方法。因此，本节课有着开启全章，奠定基调，渗透方法，明确方向，承前启后的作用。

2.学生的数学现实分析

从知识上来看，平面直角坐标系、两点能够唯一确定一条直线，一次函数与正切函数的图象与性质、平面向量等是学生学习本节内容的知识基础。但由于本节内容是解析几何的开始，对用代数的方法研究几何问题还不习惯，所以在学习中可能会遇到思维的不适应，这是正常现象。

从学生思想观念与能力水平来看，高二的学生已经掌握了一定的数学思想和方法，形成了一定的数学意识或观念，且大部分学生有较强的求知欲，在这样的状态下，学习解析几何，学生必将渴望了解解析几何研究的基本原理和学习规律，需要知道它与以前学***面几何的关联与区别，教师根据学生的这种学习心理，设置递进的问题情境，使学生主动参与，并促进学生自主学习的情感基础。

3．教学重点与难点

重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程。

难点：对斜率概念的理解。

二、教学目标

1.知识目标：了解直线的方程和方程的直线的概念;在新的问题的情境中，去主动构建理解直线的倾斜角和斜率的定义;初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法。

2.能力目标：引导学生观察、发现、类比、猜想和实验探索，进而培养学生自觉运用转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想与方法，领悟由特殊到一般、联想、类比等思维策略，以培养学生的创新意识和创新能力。

3.情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。

三、教法、学法和手段

课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则。根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：

1.教法：观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法。启发引导学生积极的思考并对学生的思维进行调控，使学生优化思维过程；在此基础上，通过学生交流与合作，从而扩展自已的数学知识，实现自觉地、主动地、积极地学习。

2．学法

主要运用引导、启发、情感暗示等隐性形式来影响学生，给学生自己动手、参与教学过程、发现问题、讨论问题提供很好的机会。充分地调动学生学习的热情，让学生学会学习，学会探索问题的方法，培养学生的能力。

3.手段：以学生实际操作、探索新知为主，以多媒体为辅助手段，使学生能够直观形象地去感受知识间的内在联系。

四、教学过程设计

教学过程

设计意图

由实物图片让学生来了解解析几何在实际问题中的重要性，以激起学生的学通过图片激起学生对本章欣习兴趣本章开始，我们将从直线和圆的方程开始平面几何的学习。

赏以y=2x+1为例解释一次函数与直线间的对应，然后对一般的一次函数的学习兴趣。

图y=kx+b，从函数与直线间的对应到方程与直线间的对应进行讲解，从而得到

片

直线的方程与方程的直线，即：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上

的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程

就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。在平面解析几何里，激就是利用直线与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程来研究

发直线的有关问题。也就是用代数的方法来研究几何问题。

略讲直线与方程的关系让兴趣

1.直线的倾斜角

学生对平面解析几何研究问题的方法有个初步了解。

自主探索：如何画出两个正方形的对角线？并体会如何确定一条直

线。

工具有：直尺

45角的三角板

通过学生实际操作得出作图依据是：

（1）两点可以唯一确定一条直线；

探（2）由一个点和一个角也可以唯一确定一条直线。

索在第（2）种方法中显示出角对确定这条直线的重要性。

0

通过操作，使学生感受到在确定直线过程中，角是至关重要的，并体味概念产生的合理性

交举实际生活中实例：如通过角可反应坡度的大小；梯子和地面的夹角不同决

流

定着梯子相对于地面的倾斜程度。

同样，在平面直角坐标系中，不同的直线它的倾斜程度也不同，那么，它相

形对于x轴的正方向的倾斜程度用哪个角去刻画呢？由学生找出这样的角，并

成把它定义为倾斜角。

概归纳定义：在平面直角坐标系中，对于一条与

轴相交的直线，如果把

轴绕

念

着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ,那么

就叫

做直线的倾斜角。

（1）倾斜角直观地描述了直线在直角坐标系中相对于x轴正方向的“倾

说明：

斜程度”。

（2）定义中有一个前提：与

轴相交的直线。

因此规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0。这样每一条直线都有唯

一的倾斜角。

0

（3）定义中有三个条件：把

轴绕着交点按逆时针方向旋转；转到和直线重

合时；最小正角。

观察与思考：倾斜角的取值范围？

教师用几何画板演示，学生观察得出：

0°≤

＜180°（或0≤

＜π）

2、直线的倾率

探索交流：（1）在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°

的直线，并试着写出它们的直线方程。

（2）直线的倾斜角在这些直线方程中是如何体现的？

此问题的创设既是对前面

学生自主完成图象，并写出直线方程，对于写出倾斜角是45°和135°的直

线方程应该没有困难。对于倾斜角是30°的直线方程可能有困难，此时可以知识的复习，也是对引入斜率做铺垫。

让学生相互交流自己的做法。

探三条直线方程：

对思维难度较大的问题既索30°---- 要独立思考，又要与人合交45°---- 作，使学生在讨论中不断流

135°---- 完善自己的认识。

观察并归纳得出：倾斜角不同，方程中

的系数不同，而且这个系数正是倾斜

形角的正切！我们把倾斜角的正切叫做斜率。像y=kx+b中的k叫此直线斜率。

成概问题：是不是所有倾斜角的正切值都存在？

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。念

形成定义：

记作

继续探究：随着倾斜角在0°≤

＜180°的变化，直线的斜率如何变化？

（1）借助于正切函数的图象与性质来讨论斜率的变化。

（2）从直线在坐标平面上的四种情况进行分类讨论。

从而总结：

α＝0°时， k=0

0°＜α

＜90°时，k>0, k随α的增大而增大。

α＝90°时， k不存在

90°＜α

＜180°时，k ＜0

k随α

的增大而增大。

强调分类讨论应注意的问题，并得出斜率的取值范围是R

。

从两个不同的角度去体会：随着倾斜角的变化，

这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于

轴（正方向）倾斜程度斜率在发生什么样的变的量——倾斜角，又定义了一个从“数”的方面刻画直线相对于

轴（正方向）化。

倾斜程度的量——斜率。

探

体会分类讨论思想、数形索

交流

形成概念

（第一组）判断正误

1．直线的倾斜角为

，则直线的斜率为

。

巩2．直线的斜率值为

，则直线的倾斜角为

。

结合思想在分析解决问题中的应用。

通过本组练习加深学生对概念的再理解。

固3．因为所有直线都有倾斜角，故所有直线都有斜率。

练

4．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大。

习

5．两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等。

解题感悟：透彻理解概念，注重每个细节。并培养自己举反例的意识。

（第二组）解答题：

深【例1】

已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1

化，求直线l2的斜率k2.

概和l2向上的方向之间所成的角为120°念

例2：已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．

(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角．

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．

y2－y1

[思路探索] (1)利用k＝及k＝tan α求解；

x2－x1

(2)先求出AC、BC斜率，进而求出k的范围

．

巩【例3】

已知三点A(0，a)，B(2,3)，C(4,5a)在一条直线上，求a的值，并求

固这条直线的倾斜角．

练审题指导

利用任意两点的斜率相等求解．

习

解题感悟：把握问题实质，规范解题步骤。

深化概念

通过本组练习使学生学会分析问题并规范学生的解题步骤。

1．反思本节课的学习过程：

回确定直线 ----直线

的方向----倾斜角 ----斜率 ----直线方程（

）

反思是一种很重要的学习方式，它能够使学生在知顾这一学习过程本身又一次体现了解析几何的基本思想------用代数方法研究识、能力、情感等方面得到提高。

反

几何问题。

思

2．反思本节课所学知识。

引导学生不断总结运用数学思想方法经验和体会是

3．引导学生反思在本节课的学习活动中，运用了哪些数学思想和方法，并深提高学生学习能力的有效提入体会这些思想与方法在数学学习中的重要性，从而增强分析问题和解决问途径之一。

升题的能力。

认识

继

续课后作业：习题3.1

1题、2题。

探思考题：

究

直线的斜率用倾斜角的正切表示，为什么不作倾斜角的正弦、余弦或余切表

示？

深

化提高

让学生带着他们感兴趣的问题走出课堂，继续探究，以利于学生的发展。

板书设计

§7.1直线的倾斜角和斜率

一、直线的方程 例题

方程的直线

二、直线的倾斜角 学生练习

0°≤α

＜180°或（0≤α

＜π）

三、直线的斜率 思考

K

=tanα (α

≠ 90°

)