1.1.3 四种命题间的相互关系教学实录及点评

命题及其关系

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

p⇒q且⇒/

p

p⇒/q且q⇒p

p⇔q

p⇒/q且q⇒/p

[注意]

不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．

常用知识拓展

1．充分条件与必要条件的两个特征

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．

2．一些常见词语及其否定

词语

否定

是

不是

都是

不都是

都不是

至少一个是

等于

不等于

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．(

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．(

) 大于

不大于

(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(

) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

) (5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√

命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(

) A．若a≤b，则a＋c≤b＋c

B．若a＋c≤b＋c，则a≤b

C．若a＋c>b＋c，则a>b

D．若a>b，则a＋c≤b＋c

解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.

(2018·高考天津卷)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由x3>8可得x>2，由|x|>2可得x>2或x<－2，故“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件．故选A.

设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．

解析：把命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

已知p：a<0，q：a2>a，则﹁p是﹁q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．

解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．

答案：必要不充分

四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)

(1)(2019·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－1

) A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－11或x<－1，则x2>1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 (2)(2019·广东中山一中第二次统测)下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

【解析】

(1)命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1

(2)命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，故B错误；命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，是假命题，故D错误，选A.

【答案】

(1)D

(2)A

(1)判断命题真假的两种方法

(2)由原命题写出其他三种命题的方法

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(

) A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0 解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.

1k2．已知集合P＝x|x＝k＋2，k∈Z，Q＝{x|x＝，k∈Z}，记原命题：“若x∈P，则2x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(

) A．0

C．2

1解析：选C.因为P＝x|x＝k＋2，k∈Z＝

k2k＋1x|x＝，k∈Z，Q＝x|x＝2，k∈Z，

2B．1 D．4 所以PQ，

所以原命题“若x∈P，则x∈Q”为真命题，

则原命题的逆否命题为真命题．

原命题的逆命题“若x∈Q，则x∈P”为假命题，

则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.

充分条件、必要条件的判断(师生共研)

(1)(2018·高考北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

11x－<”是“x3<1”的(

) (2)(2018·高考天津卷)设x∈R，则“22A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】

(1)因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选C.

1133x－1x－<，(2)由得0

2【答案】

(1)C

(2)A