习题3.1课时教学实录

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

【教学目标】

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

（3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

【教学重难点】

重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。

难点：异面直线所成角的计算。

【教学过程】

（一）创设情景、导入课题

问题1：

在平面几何中，两直线的位置关系如何？

问题2：没有公共点的直线一定平行吗？

问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？

1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出

异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）

（二）讲授新课

1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？

2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：

3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？

组织学生思考：

长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？

生：平行。 再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b c∥b[来源:Zxxk.Com]=>a∥c

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点

求证：四边形EFGH是平行四边形

证明：连接BD 因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD且EH= 同理FG∥BD且FG=因为EH∥FG且EH=FG 1BD 21BD 2所以四边形

EFGH是平行四边形

点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用

变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？

4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：[来源:Zxxk.Com]

∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 180

教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理

0等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。

5、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。

（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

（2）强调：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②

两条异面直线所成的角θ∈(0，2 )；

③

当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④

两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤

计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1,

（1）

（2）

哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？

哪些棱所在的直线与AA1垂直？

[来源:学科网]

解析：考察异面直线的理解

解：（1）棱AD.DC.CC1.DD1.D1C1.B1C1所在直线分别与直线BA1是异面直线

（2）直线AB.BC.CD.DA.A1B1.B1C1.C1D1.D1A1分别与AA1垂直

点评：理解异面直线，垂直包括相交垂直与异面垂直

变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。（6

条）

【板书设计】

一、空间中两条直线的位置关系

二、异面直线所成角

三、例题

例1 变式1 例2 变式2 【作业布置】P49 1、2

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

课前预习学案

一．预习目标：明确直线间的位置关系

二预习内容：2.1.2课本内容思考：空间两条直线有多少种位置关系

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

课内探究学案

疑惑内容

一．

学习目标

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

（3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

学习重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。

学习难点：异面直线所成角的计算。

二．

学习过程

1 共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2.以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。

（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

（2）强调：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②

两条异面直线所成的角θ∈(0，2 )；

③

当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角

例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点

求证：四边形EFGH是平行四边形

变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？

例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1,

（1）

哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？

（2）

哪些棱所在的直线与AA1垂直？

变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。（6条）

课后练习与提高

一．选择题

1.垂直于两条异面直线的直线有（ ）条

A 1

B2

C无数

D以上都不对

2.两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB与CD（

）

N

A 垂直

B平行

C相交

D以上都不对

D 3．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角；

④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是

（ ）

E A （A）①②③

（B）②④

（C）③④

（D）②③④

二．填空题

4.在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为

________ [来源:学。科。网]C M B F 5.

空间四边形ABCD中，ADBC2，E,F分别是AB,CD的中点，EF3，求异面直线AD,BC所成的角为_________

三．解答题

6.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.