习题3.2名师课堂实录

向量的内积与二面角的计算

在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：

coscoscossinsincos,

(1) 其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。AON，BON，

AOB。为二面角P-MN-Q（见图1）。

zDPAaMObxyNBQ

图1

公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：

以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。

记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则ODMN，得

AOD2，DOx，DOz2。

分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量a，b，则a,b。

由计算知a，b的坐标分别为

(sincos,cos,sinsin)，(sin,cos,0)，

于是，

ababcoscossinsincos。

cos|a||b|公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。

例1．立方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。

求面EFG和面GHI的夹角的大小（用反三角函数表示）。

解

由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平面HIG。而就是二面角G-IH-G（见图3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我们就能求出。

D1EGA1B1HC1FDICAB

图2 GHI和HIG均为等边三角形，由已知条件，所以3，而GIG2。因此，

D1EGA1B1HG'C1FDICAB

sin图3

cos2cos3cos33sin3cos，

即

0解得

1133cos。

222211cos，

arccos。

33

当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角来。

例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。

解

我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线（如图4），则公式（1）中的，，分别为：

AMN，

BMN，

AMB，

因此它们均为正五边形的内角。所以

108。

NPMABQ

图4 所以，由公式（1）知

cos108cos108cos108sin108sin108cos，

或

coscos108(1cos108)5。

25sin108因此，arccos5，或1163354。

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如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角的大小在计算上要复杂很多。

利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。

设单位棱长正十二面体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点。设该正五棱锥为，从而可知：

V12V。

再设的底面积为S、高为h，设O为单位边长正五边形（即的底）的中心，

A、B为该五边形的两个相邻的顶点，H为AB的中点，|OH|a，则

11a5tanO'AHtan54，

S5tan54。

2224h仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则tan。所以

a21htan54tan。

22但是，

O'AH54，

atan

21cos51，

1cos251从而V12V4Sh4tan54tan54tan

24255255115755(tan54)2tan

，

222524或V7.6631