1.1.1 命题课堂实录【2】

专题：简单的逻辑联结词、全称量词

与存在量词

※知识要点

1．逻辑联结词与简单复合命题

(1)命题中的“

、

、

”叫做逻辑联结词．

(2)含有

的命题叫简单复合命题，常见的有：

①且命题：“p且q”记作

；

②或命题：“p或q”记作

；

③非命题：“非p”记作

. 注：①“￢p”是命题的

，与否命题的区别是

；

②简单符合命题的否定：

￢(p∧q)=

；

￢(p∨q)=

；

￢(￢p)=

；

③常见的否定词：

正面

且

或

< 是

都

都不是

至少n个

至多n个

否定

2．命题p∧q，p∨q，p的真假判断

p q p∧q p∨q ￢p

真

真

真

假

假

真

假

假

3．全称量词与存在量词

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做

，并用符号“

”表示．

(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做

，并用符号“

”表示．

4．全称命题与特称命题

(1)含有

的命题，叫做全称命题，可用符号简记为

，它的否定

．

(2)含有存在量词的命题，叫做

，可用符号简记为

，它的否定

．

※题型讲练

【例1】指出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、

“￢p”形式的复合命题，并判断其真假．

(1)p：1是素数；

q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；

(2)p：菱形的对角线相等；

q：矩形的对角线互相垂直；

(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同；

q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．

变式训练1：

1．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么(

) A．命题p不一定是假命题

B．命题q一定是真命题

C．命题q不一定是真命题

D．命题p与q的真假相同

2．“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．

【例2】写出下列命题p的非(否定)：

(1)p：60既能被4整除又能被5整除

(2)p：一元二次方程至多有两个解

(3)p：x>2或x≤5；

变式训练2：

1．若命题p：x∈A∩B，则￢p是(

) A．x∈A且xB

B．xA或xB

C．xA且xB

D．x∈A∪B

2．若“￢(p∨q)”是真命题，则p、q的真假情况是

．

【例3】已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；

q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

变式训练3：

1．p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；

q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，

若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

【例4】判断下列命题的真假．

(1)∀x∈R，都有x2－x＋1>12；

(2)∃α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；

(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N；

(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3；

变式训练4：

1．写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；

(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.

2．若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

3．若命题“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．

【例5】已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”；

命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，

若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

变式训练5：

1．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0；

命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，

若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．

※课后练习

1．下列命题中的假命题是(

) A．∀x∈R,2x－1>0

B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1

D．∃x∈R，tan x＝2 2．命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是(

) A．∃x∈R，x2－2x＋1≥0

B．∃x∈R，x2－2x＋1>0 C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0

D．∀x∈R，x2－2x＋1<0 3．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4

) A．￢p假

B．q真

C．p或q假

D．p且q真

4．已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(￢q)为假命题，则实数m的取值范围是(

) A．(－∞，0)∪(2，＋∞)

B．[0,2] C．R

D．φ

5．命题“∃x∈R，使x2＋2x＋5＝0”的否定是__________．

6．命题“∀a,b∈R，若ab>0，则a>0”的否命题是_______．

7．已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题￢p是假命题，则实数m的取值范围为__________．

8．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

9．已知命题p：对任意实数x都有ax2>－ax－1恒成立，命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．若“p∨q”为真命

题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是__________．

10．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．

11．已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是

{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

12．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，

2x－x－6≤0，

命题q：实数x满足2

x＋2x－8>0.

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)綈p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．