2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学实录与评析

第十四教时

两个平面的位置关系

及两个平面平行的判定

【教材】9.5两个平面平行的判定和性质

【目的】1.理解两个平面的位置关系. 2.掌握两个平面平行的判定定理并会简单应用. 【过程】：

一、复习引入

1.直线和直线的位置关系. 划分标准:是否共面；公共点的个数——相交、平行、异面

2.直线和平面的位置关系. 划分标准:是否在平面内；公共点的个数——平行、相交、在平面内

结论：通过公共点的个数划分. 3.线面平行的判定定理与性质定理

二、新课 1.两个平面的位置关系

1)实例引入:观察教室里的各面,总结可能有几种不同的位置关系? 2)归纳:两个平面平行——无公共点

两个平面相交——有一条公共直线

3)画法及记法









错误

a

正确

记作: ∥ a

2.两个平面平行的判定

1)实例引入:水准仪

2)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面.那么这两个平面平行. 分析:这个定理从正面证(用定义)比较困难,所以考虑用反证法. 启发:(1)如果平面和平面不平行,那么它们的位置关系怎样?

(2)如果平面和平面相交,那么交线c和平面中的直线a与b各有怎样的位置关系? (3)相交直线a与b都与交线c平行,这合理吗?为什么? 证明过程:已知

⇒

求证

⇒

作图

⇒

证明 (见教材第30页) 指出:(1)明确判定定理的条件和结论; (2)掌握反证法的步骤. 练习:(1)若平面内有一条直线平行于另一个平面,能否推出∥? (2)若平面内有两条直线平行于另一个平面,能否推出∥? (3)若平面内有无数条直线平行于另一个平面,能否推出∥? (4)若平面内任意一条直线平行于另一个平面,能否推出∥? 关键:不在于直线条数多少,而在于这些直线是否具有某种位置关系——相交 3.例题

例1 垂直于同一条直线的两个平面平行. 证明:(见教材第30页例1) 作辅助平面

指出:(1)证明的线索:线线平行

⇒

线面平行

⇒

面面平行

(2)此例可作为判定定理,用来判定两个平面平行. (3)两个平面平行的判定方法:①定义;②判定定理;③例1的结论

例2 已知直线a、b异面,平面过a且平行于b,平面过b且平行于a, 求证:∥

分析:线面平行

⇔

线线平行

⇔

线面平行

⇔

面面平行

证明:过a作平面,使a'

∵a∥,a⊂,a', ∴a∥a'

又∵a'⊄α

a

,a⊂,∴a'∥且b∥

β

b

又a、b异面,∴a'与b必相交,∴∥.

例3 已知线段AB、CD异面,CD⊂平面α,AB∥α,M、N分别是AC、BD的中点,求证:MN∥平面α.

分析:线线

⇒

线面 (繁) 改:面面

⇒

线面 关键:作面

连AD,取AD中点Q,连QM、QN. α

三、小结: 1.两个平面的位置关系; 2.两个平面平行的判定定理; 3.判定平面平行的方法. 四、作业:教材第33页第3、4题.

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