小结名师教学设计2

第二章

圆锥曲线与方程

小结

圆锥曲线的定义及标准方程

圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容．

[考点精要]

椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程

椭圆

平面内与两个定点定义

F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹

x2y2y2x2＋＝1或2＋2＝a2b2ab1(a>b>0) 关系式

x2y2[典例]

(1)椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|259等于(

) A．2

C．6

B．4 3

D.

2a2－b2＝c2

双曲线

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹

x2y2y2x2－＝1或2－2＝a2b2ab1(a>0，b>0) a2＋b2＝c2

抛物线

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹

y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)

标准方程

x2y25(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，ab2x2y2且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(

) 123x2y2A.－＝1 810x2y2C.－＝1 54x2y2

B.－＝1 45x2y2

D.－＝1 43(3)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________. x2y2[解析]

(1)设椭圆的另一个焦点为F2，因为椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离259

为2，即|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，所以|MF2|＝8.因为N是MF1的中点，O是1F1F2的中点，所以|ON|＝|MF2|＝4. 2(2)根据双曲线C的渐近线方程为y＝b5可知＝.①

a2x2y2又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，

123所以a2＋b2＝9.②

根据①②可知a2＝4，b2＝5，

x2y2所以C的方程为－＝1. 45(3)双曲线方程16x2－9y2＝144 x2y2化简为－＝1，

916即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，

解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．

设

|PF1|＝m，|PF2|＝n，

由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，

又已知m·n＝64，

在△PF1F2中，由余弦定理知

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2cos∠F1PF2＝

2|PF1|·|PF2|m2＋n2－2c2m－n2＋2m·n－4c2＝＝

2m·n2m·n＝36＋2×64－4×251＝. 22×645x，

2所以∠F1PF2＝60°. [答案]

(1)B

(2)B

(3)60°

[类题通法]

求圆锥曲线方程的一般步骤

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．

(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．

(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．

(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的

大小．

[题组训练]

1．若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215，0)，则椭圆的标准方程是(

) x2y2A.＋＝1 3020x2y2C.＋＝1 7515x2y2

B.＋＝1 4020x2y2

D.＋＝1 8020x2y22aa解析：选D

不妨设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，依题意得，＝b＝2⇒a＝ab2b2b，∵c＝215，c2＝a2－b2，∴(215)2＝(2b)2－b2⇒b2＝20，得a2＝4b2＝80，故所求椭圆x2y2的标准方程为＋＝1. 80201716，，则|PA|2．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为Q，A22＋|PQ|的最小值是(

) 15A.

219C.

217

B.

2

D．10 110，.根据抛物解析：选C

抛物线的准线方程为y＝－.设抛物线的焦点为F，则F2211线的定义可得|PQ|＝|PF|－，所以|PA|＋|PQ|＝|PF|＋|PA|－.所以|PA|＋|PQ|的最小值为|FA|22119－＝. 22圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．

[考点精要]

椭圆、双曲线、抛物线的几何性质

标准方程

关系式

图形

椭圆

x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2a2－b2＝c2

封闭图形

双曲线

x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2a2＋b2＝c2

无限延展，有渐近线

抛物线

y2＝2px(p>0)

无限延展，没有渐近

线

对称性

顶点

离心率

准线方程

决定形状的因素

3[典例]

(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为(

) 45A.

355C.或

345

B.

4

D.3 四个

0

e决定扁平程度

对称中心为原点

两条对称轴

两个

e>1

e决定开口大小

无对称中心

一条对称轴

一个

e＝1 px＝－

22p决定开口大小

x2y2(2)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的ab―→―→―→中点为M，若2MA·MF＋BF2≥0，则该椭圆的离心率的取值范围为(

) A．(0，3－1] 10，

C.2

B.0，3

2

D．(0，2－1] 3[解析]

(1)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，

4b3a3得a＝或b＝，又离心率e＝4455所以e＝或e＝. 34ab－，，F(c,0)，

(2)因为A(－a,0)，B(0，b)，M22ab―ab―→→－，－，MF＝c＋，－，

所以MA＝2222―→―→―→―→BF＝(c，－b)，又2MA·MF＋BF2≥0，

所以2a2－2ac－c2≥0，即e2＋2e－2≤0，

结合0＜e＜1得0＜e≤3－1. [答案]

(1)C

(2)A [类题通法]

求解离心率三种方法

b21＋2，

a

由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还定义法

c是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法

方程法

建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法

求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆几何法

(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观

[题组训练]

1．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．

x2y232＋2＝2⇒2＝5，∴短轴长为2×5＝解析：方程x＋ky＝2可化为＋＝1，则k42222kk225. 答案：5 x2y22．过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于abA，B两点．若以AB为直径的圆恰过双曲线的一个顶点，则双曲线的离心率是________．

解析：设双曲线的左顶点为P，A位于第一象限，B位于第四象限，把x＝c代入双曲x2y2b2b2线方程2－2＝1，得到|AF|＝yA＝a，又|PF|＝c＋a，依题意知|AF|＝|PF|，∴a＝c＋a⇒b2abc2c2＝ac＋a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac＋a2，两边同除以a2得到a－a－2＝0⇒e－e－2＝0，又∵e>1，∴e＝2. 答案：2 x2y23．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的ab焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．

解析：c2＝a2＋b2，①

由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，

pcpc，－，即2－2＝1.②

双曲线过点2a4bp2由|FA|＝c，得c＝a＋，③

42222

由①③得p2＝4b2.④

c2将④代入②，得2＝2. aa2＋b2b∴2＝2，即a＝1，

a故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0. 答案：x±y＝0 直线与圆锥曲线的位置关系

高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．

[考点精要]

直线与圆锥曲线有关的问题

(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．

(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝1＋k2x1－x22或

1＋12y1－y22，其中kk是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．

[典例]

已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．

x22[解]

(1)依题意可设椭圆方程为2＋y＝1(a>1)，

a则右焦点F(a2－1，0)，

|a2－1＋22|由题设，知＝3，

2x22解得a＝3，故所求椭圆的方程为＋y＝1. 32

y＝kx＋m，2(2)设点P为弦MN的中点，由x

2＋y＝1，3得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，

由于直线与椭圆有两个交点，

所以Δ>0，即m2<3k2＋1，

①

xM＋xN3mk所以xP＝＝－2，

23k＋1从而yP＝kxP＋m＝m，

3k＋12

yP＋1m＋3k2＋1所以kAP＝＝－，

xP3mk又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，

m＋3k2＋11则－＝－，即2m＝3k2＋1，

②

k3mk把②代入①得2m>m2，

解得0

由②得k2＝2m－1>0，

31解得m>，

21故所求m的取值范围是2，2. [类题通法]

有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法

(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：

①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．

②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．

③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．

(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注

意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．

[题组训练]

1．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜2率k1，k2满足k1k2＝，则直线l过定点(

) 3A．(－3,0) C．(3,0)

B．(0，－3)

D．(0,3) 解析：选A

设直线l的方程为x＝my＋b，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y1y222因为k1k2＝，所以·＝. 3x1x232又y1＝2x1，y22＝2x2，所以y1y2＝6. 将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得

y2－2my－2b＝0，

所以y1y2＝－2b＝6，所以b＝－3，

即直线l：x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．

x2y22．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－3＝0ab1交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为. 2(1)求M的方程；

(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则

2y2－y1x2y1x2y2122＝－1，

2＋2＝1，2＋2＝1，ababx2－x1b2x2＋x1y2－y1由此可得2＝－＝1. ay2＋y1x2－x1y01因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，

x02所以a2＝2b2. 又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3. 因此a2＝6，b2＝3. x2y2所以M的方程为＋＝1. 63

x＝3，x＋y－3＝0，(2)由

x2y2解得36＋3＝1y＝－3

43

x＝0，或

y＝3.

因此|AB|＝46. 3由题意可设直线CD的方程为

53

y＝x＋n－3设C(x3，y3)，D(x4，y4)．

y＝x＋n，22由xy得3x2＋4nx＋2n2－6＝0. 6＋3＝1－2n±29－n2于是x3,4＝. 3因为直线CD的斜率为1，

4所以|CD|＝2|x4－x3|＝

39－n2. 9－n2.

186由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝

2986当n＝0时，S取得最大值，最大值为. 386所以四边形ACBD面积的最大值为. 3

x2y21．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是ab(

) A．2

C.2

B.3 3

D.

2bbbb解析：选C

由题可知y＝ax与y＝－ax互相垂直，可得－a·a＝－1，则a＝b.由离心22c2a＋b率的计算公式，可得e＝2＝2＝2，e＝2. aa212．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方4程是(

)

A．x2＝2y－1 1C．x2＝y－

21

B．x2＝2y－

16

D．x2＝2y－2 解析：选A

焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p2＝4q. q＋1p设Q(x，y)是线段PF的中点，则x＝，y＝，

22即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)，

即x2＝2y－1. y23．已知直线y＝kx＋1与双曲线x－＝1交于A，B两点，且|AB|＝82，则实数k42的值为(

) A．±7 C．±3

B．±3或±

D．±41

3241

3y2解析：选B

由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x－＝14得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，k2＜5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝或±2k5x1x2＝－所以|AB|＝1＋k2·2，2，4－k4－k2k22＋20＝82，解得k＝±34－k4－k241. 3x2y2y2x24.我们把由半椭圆2＋2＝1(x≥0)与半椭圆2＋2＝1(x<0)合成的曲abbc线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(

) A.7，1 2

B.3，1

D．5,4 C．5,3 13解析：选A

∵|OF2|＝b2－c2＝，|OF0|＝c＝3|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c222377＝1＋＝，得a＝. 442x225.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，4B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．其四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(

)

A.2 3C.

2

B.3

D.6

2解析：选D

焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，

在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，

|AF1|2＋|AF2|2＝12，

所以可解得|AF2|－|AF1|＝22，

故a＝2，所以双曲线的离心率e＝36＝，选D. 22x226．若过点A(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与椭圆E：＋y＝1都只有一个交点，且2l1⊥l2，则h的值为(

) A.3 C．2

B.5

D.6 解析：选A

由题意知l1，l2的斜率都存在且不为0. 1设l1：y＝kx＋h，则由l1⊥l2，知l2：y＝－x＋h，

kx22x2将l1：y＝kx＋h代入＋y＝1得＋(kx＋h)2＝1，

22即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，

由l1与椭圆E只有一个交点知

Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，即1＋2k2＝h2. 2同理，由l2与椭圆E只有一个交点知，1＋2＝h2，

k1得2＝k2，即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝3. kx2y27．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的方程为ab________．

x2y2解析：因为双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，

abc所以a＝2，由离心率为5，可得＝5，c＝25，

a所以b＝c2－a2＝20－4＝4，

x2y2则双曲线的方程为－＝1. 416x2y2答案：－＝1 4168．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线y＝x2上的点到直线AB的最短距离为________．

|2t－t2－4|t2－2t＋4解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y＝x上的点P(t，t)，d＝＝5522t－12＋3335＝≥＝. 555答案：35

59．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________. 解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，

因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝22，

所以N(0,42)，|FN|＝4＋32＝6. 法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，

抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，

∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵点M为FN的中点，PM∥OF，

1∴|MP|＝|FO|＝1. 2又|BP|＝|AO|＝2，

∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，

故|FN|＝2|MF|＝6. 答案：6 10．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为恰好是抛物线x2＝42y的焦点．

3，若它的一个顶点2

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，点P位于第一象限，A，B是椭圆C上位于直1线x＝2两侧的动点．若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．

2x2y2解：(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab

∵抛物线x2＝42y的焦点是(0，2)，

∴b＝2. c3由＝，a2＝b2＋c2，得a＝22，

a2x2y2∴椭圆C的方程为＋＝1. 82(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

1直线AB的方程为y＝x＋t，

2联立1y＝2x＋t，x2y2＋＝1，82

得x2＋2tx＋2t2－4＝0，

则x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4. x2y2在＋＝1中，令x＝2，得P(2,1)，Q(2，－1)．

82∴四边形APBQ的面积

S＝S△APQ＋S△BPQ

1＝|PQ|·|x2－x1| 21＝×2×|x2－x1| 2＝|x2－x1| ＝x1＋x22－4x1x2

＝4t2－42t2－4

＝－4t2＋16. ∴当t＝0时，Smax＝4. ∴四边形APBQ面积的最大值为4. 11．已知经过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C. 1―→1―→(1)当直线l的斜率是时，AC＝AB，求抛物线G的方程；

24(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知得，

1直线l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4. 2x2＝2py，由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，

x＝2y－4，

则y1＋y2＝8＋p，y1y2＝4，

21―→1―→又因为AC＝AB，所以y2＝y1或y1＝4y2. 44由p＞0得，y1＝4，y2＝1，p＝2，

所以抛物线G的方程为x2＝4y. (2)由题意知l的斜率存在．

设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，

2x＝4y，由得x2－4kx－16k＝0.

①

y＝kx＋4，

x1＋x2所以x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k. 2所以BC的垂直平分线的方程为

1y－2k2－4k＝－k(x－2k)，

所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，

对于方程①由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4. 所以b∈(2，＋∞)．

所以b的取值范围为(2，＋∞)．