1.2.1 充分条件与必要条件教案3

1.2.1 推出与充分条件、必要条件

广东汕头华侨中学

李贵凤

学习目标

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件及充要条件的意义. 2.能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性．

教学重点

充分条件、必要条件及充要条件

教学难点

判断所给条件是充分条件，还是必要条件

教学过程

一

预习给出定义

知识点一

命题的结构

命题的形式：在数学中，经常遇到“如果p，则(那么)q”的形式的命题，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．

知识点二

充分条件与必要条件

1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．

2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．

知识点三

充要条件

1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．

2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若A⊆B，则p是q的充分条件，若A必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若B充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

B，则p是q的充分不

A，则p是q的必要不

1

随堂测试

1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．( ×

) 2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．( √

) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．( √

) 4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( √

) 5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．( √

) 二 探究应用

题型一

充分、必要、充要条件的判断

例1 指出下列各组命题中p是q的什么条件？

(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(3)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(4)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB. 解

(1)因为x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，

而(x－2)(x－3)＝0⇏x－2＝0，

所以p是q的充分不必要条件．

(2)因为两个三角形相似⇏两个三角形全等，

但两个三角形全等⇒两个三角形相似，

所以p是q的必要不充分条件．

(3)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，

所以p是q的充要条件．

(4)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇏q；

又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇏p，

所以p是q的既不充分也不必要条件．

反思感悟

充分条件、必要条件的两种常用的判断方法

(1)定义法：

①确定谁是条件，谁是结论；

②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；

③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．

(2)命题判断法：

①如果命题：“如果p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

②如果命题：“如果p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要

2

条件．

跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；

(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(3)p：m>0，q：x＋x－m＝0有实根．

解

(1)因为四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形，

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，

所以p是q的必要不充分条件．

(2)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，

2x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，

所以p是q的充要条件．

(3)因为m>0⇒方程x＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根；

方程x＋x－m＝0有实根，

即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0. 所以p是q的充分不必要条件．

题型二

充分、必要、充要条件的应用

命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围

例2 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数22m的取值范围．

考点

充分、必要条件的综合应用

题点

由充分、必要条件求参数的范围

解

p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m1－m≥－2，故有1＋m<10x|－2≤x≤10}，

1－m>－2，或1＋m≤10，

解得m≤3.

又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0

题型三

充要条件的证明

典例

求证：一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

3 2

证明

充分性(由ac<0推证方程有一正根和一负根)，

∵ac<0，∴一元二次方程ax＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b－4ac>0，

∴原方程一定有两不等实根，

不妨设为x1，x2，则x1x2＝<0，

∴原方程的两根异号，

即一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性(由方程有一正根和一负根推证ac<0)，

∵一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根，

不妨设为x1，x2，

∴由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，

此时Δ＝b－4ac>0，满足原方程有两个不等实根．

综上可知，一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 课堂小结

(1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. (2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程

222222caca

4