1.2.1 充分条件与必要条件课件配套优秀教案案例

高一第一学期数学教案

2006-9 “充分条件，必要条件”研究课的教学设计

辽油二高

展晨

设计背景

充分条件，必要条件是高一新生接触逻辑初步知识的一个重要内容，也是难点，本节内容特点是抽象，逻辑性强，是今后解题的工具。

数学课堂教学必须树立课程是为学生提供学习经历，并获得学习经验的观念，教师应把倡导自主探究，为学生提供实践、体验和合作交流的学习方式的机会落在实处。

基于以上原因我把“充分条件，必要条件”这一节课设计成研究性课程。

设计思路

课前准备（课前复习、预习、学习，这里有阅读，有跨学科的逻辑推理，有多媒体运用）→交流汇报（展示学习结果及分析成果，这里有语言表达能力培养）→教师导析（对知识的理解得到升华）→巩固练习→师生小结（加深记忆，领会要点）→兴趣培养→课后实践（理论得以应用）

课题：充分条件，必要条件

课的类型：新授研究型课

课时：两节（可适当拆分）

研究目的：提高学生阅读理解能力，归纳能力，提高学生分析问题、解决问题的能力，使学生活动时主动积极，乐于探究，理解透彻，功效明显。

课堂教学目标：

（1）知识目标：通过学习使学生理解充分条件与必要条件的意义，能在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性。

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2006-9 （2）能力目标：通过学习，培养学生阅读理解能力（为解应用题打下基础），渗透数学中的归纳思想，培养学生的自学能力，逻辑推理能力。

（3）情感目标：改变传统教学中枯燥、抽象、难懂的局面，使学生在学习过程中体验、感悟、实践、探索，并学会合作交流，提高阅读能力、调动学生的主体性。

教学重点：充分条件、必要条件、充要条件

教学难点：充分条件、必要条件、充要条件的判别

教学器材：电脑、投影仪等

一、课前准备

（一）教师支持材料作业

独立阅读下列材料并回答问题

1、(复习)写出下面两个命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断命题的真假

（1）如果某个整数能够被4整除，那么这个整数必是偶数

（2）两个三角形全等，则这二个三角形的面积相等

2、（学习）用α、β分别表示两件事，如果α这件事成立，可以推出β这件事也成立，即αβ，那么α叫做β的充分条件，换言之使β成立具备条件α就足够了。那么β呢？β称为α的必要条件。

3、阅读范例A并回答问题：

范例A：“下大雨了，路湿了”请问“下大雨了”是“路湿了”的什么条件？

同学A回答：“‘下大雨了’是‘路湿了’充分条件，原因是‘下大雨了’可记为α，‘路湿了’可记为β，αβ故‘下大雨了’是‘路湿了’的充分条件。”

同学B补充回答：“我认为A说的对，因为不一定是‘下大雨了’路就湿了，也可以说‘雪化了，路湿了’，还可以说‘洒水车刚过去，路湿了’。”

你认为以上分析是否正确？

4、阅读范例B并回答问题

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2006-9 范例B：“万事俱备只欠东风”。请问“东风”是“火烧赤壁”的什么条件？

同学C说：“我知道了，‘东风’是‘火烧赤壁’的＿＿＿条件，‘火烧赤壁’成功必须有‘东风’，只有‘东风’，‘火烧赤壁’也不能成功。”

（二）学生活动任务

1、按六人学习小组讨论上述问题。

可借助课本、图书、网络收集日常生活中、课本上能反映充分条件和必要条件的实例加以分析，例子不必多，要典型能说明问题。

2、每个小组精选实例制作幻灯片，要求如下：

反映充分条件和必要条件的实例各一个，但其中一为日常生活中实例，另一为数学中的实例，并指出条件是结论的什么条件，结论又是条件的什么条件，注明合作者及资料来源。

3、各小组选出代表，做好准备，以便交流共享。

（三）可参阅资料

1、《逻辑学》

2、《中国基础教育网》

搜索关键词：充分条件，必要条件，假言推理

3、最后阅读课本（华师大版高一第一册

P18．1.11）

二、交流汇报

（一）教师支持材料作业检查。（口答）

（二）每组代表将小组制作的幻灯片在班内展示、分析、共享合作成果，并回答同学提问

A组：1、所有的孩子从父母那里得到一辆自行车都会感到很高兴

“所有的孩子从父母那里得到一辆自行车”记为α，“都会感到高兴”记为β，α是β的充分条件。

2、内错角相等，两直线平行，

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2006-9 内错角相等记为α，两直线平行记为β，

α是β成立的充分条件，β是α成立的必要条件

经老师引导同学补充结论：上述例1中α是β的充分非必要条件。例2中α是β成立的充分必要条件，β也是α成立的充分必要条件。（指出注意有时不一定问得如此确切。）

B组：1、如果奶奶来到我家，妈妈总要给她买一块蛋糕。

奶奶来到我家记为α，妈妈总要给她买一块蛋糕记为β

α是β成立的充分条件，β是α成立的必要条件

2、若(a-b)+(c-d)=0则a=b且c=d。

(a-b)2+(c-d)2=0是a=b且c=d的充分条件，

a=b且c=d是(a-b)2+(c-d)2=0的必要条件。

小组代表补充说明：1中α是β的充分非必要条件，

2中(a-b)2+(c-d)2=0是a=b且c=d的充要条件。

C组：1、（红灯停，绿灯行）如果卡车遇到红灯，卡车就会停

2、两三角形全等则两三角形面积相等

以上两个例子，条件均是结论的充分条件

小组成员补充说明：应该说以上两例中条件是结论的充分非必要条件

D组：1、只有认真学习，才会取得好成绩。

认真学习是取得好成绩的必要条件。

2、若x＝1，则x2＝1 x＝1是x2＝1的充分条件

x2＝1是x＝1的必要条件

E组：1、如果饮食过量，胃就会不舒服。

饮食过量是胃不舒服的充分条件。

2、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。

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2006-9 该例中条件是结论的充分条件。

（三）教师补充例子

例1、已知ABCD是凸四边形，那么“AC＝BD”是“四边形为矩形”的什么条件？说明理由（知识巩固，指出正确命题只需证明，错误命题需举反例）

例2、质数是奇数（非充分必要实例）

例3、使x2＝1的充分条件可以是＿＿＿＿（只需写出一个）（注意使动用法）

例4:写出x>0的一个必要不充分条件和一个充分不必要条件。

解: (1)x>-1 , x>-2 等 (2)x>2 , x>3 等

例5：判断下列电路图中p与q的充要关系。其中p：开关闭合；q：

灯亮。（补充例题）

ppq

q

（1）充要 （2）充分 （3）必要 （4）非

[说明]①图中含有两个开关时，p表示其中一个闭合，另一个情况不确定。②加强学科之间的横向沟通，通过图示，深化概念认识。

例6：已知p是r的充分条件，而r是q的必要条件，同时又是s的充分条件，q是s的必要条件，试判断（1）s是p的什么?(2)p是q的什么条件？（3）其中有哪几对为充要条件？

解：（1）必要条件（2）充分条件（3）s与r, q与s, q与r均互为充要条件.

例7：已知实系数一元二次方程axbxc0（a0），“b4ac0”是“方程axbxc0有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？

pqpq222解：方程ax∵b22bxc0变形为(x1b2ab2a)2b24ac4a. 4ac02

∴x2x22

∴“b4ac0”是“方程axbxc0有两个相等的实数根”的充分条件. 反过来，方程axbxc0有两个相等的实数根xx，那么有方程根与系数关12第

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2006-9 bx1x22x12a系得c2xxx121a

∴b∴“b即“b24ac0

”是“方程ax0”是“方程ax22224ac04acbxc0bxc0有两个相等的实数根”的必要条件。

有两个相等的实数根”的充要条件。

小结：充分性证明：条件⇒结论；必要性证明：结论⇒条件。

三、课堂练习 P19 四、归纳总结

1、生：一般地，如果已知αβ，那么我们说α是β的充分条件，β是α的必要条件。

师：条件是结论的充分条件，结论是条件的必要条件。

注意：“若α则β”不一定是真命题，“αβ”为真命题。

2、学生填空

（1）αβ，但βα，称α是β的充分非必要条件；

（2）αβ，但βα，称α是β的必要而非充分条件；

（3）αβ且βα，称α是β的充分必要条件；

（4）αβ且βα，称α是β的非充分也非必要条件。

3、取得经验：给出一个数学命题你首先要会判定命题真假，然后再判定条件与结论的关系。

4、意外收获：了解了“假言推理”。

五、兴趣培养

“深山藏古寺”

传说古代有一次考画师，画题是“深山藏古寺”，许多考生都按题意作了画，有的画面上是重山峻岭，在松柏深处有座寺庙，有的画面上在山峦之间只露出寺庙的第

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2006-9 一角，有的只有山峦之间画出一幅高高飘着的幡，可是这些画都没有被考官选中，另有一个考生别出心裁在画面上只有起伏的山峦，密密的松林，唯独没有寺庙，也没有任何寺庙的标志，只有一个和尚正从山脚下沿着一股小道担水上山。最后这幅画被评为第一名，你知道这幅画用的什么样的推理吗？用一句话说明。

（如果有和尚担水上山，那么山里就有庙……）

六、课后作业

填空：

1、集合A＝B是AC＝BC的＿＿＿＿＿＿条件。

2、对于x、yR、“xy＝0”是“x2+y2=0

”的＿＿＿＿＿条件。

3、“AB”是“A＝B”的＿＿＿＿＿条件。

4、x<1的一个充分但不必要条件是＿＿＿＿＿；

x<1的一个充分必要条件是＿＿＿＿＿＿＿；

x<1的一个充分且必要条件是＿＿＿＿＿＿；

5、“P∈（A∪B）的________条件是“P∈（A∩B）”。

6、“x7、“x2y2”

是“x”是“xy”的______条件。

”的_________条件。

y31或y2反思：（一）本堂研究课教案设计打破了时空的限制、课堂的藩篱，改变了以往的教学模式。

（1）改变了作业的模式

以往的作业都是课后训练或简单的预习教材，学生对数学作业感到单调，觉得是一个任务，本节教案设计上力求改变数学作业的模式，课前安排复习命题、学习新知识、培养阅读分析能力的作业，活动明显增多的小组网上作业，课堂上小组的汇报作业，课后知识巩固作业等，拓宽了学生的知识面。

（2）改变了学习的模式

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2006-9 通过学生个人探索、小组合作、班内交流、师生对话几种不同的形式升华了知识，加强了记忆，让学生在活动中动手、动脑、总结、欣赏分析自已的成果，使知识变得生动向纵深发展，培养了学习兴趣与能力。

（3）改变了传统的课堂模式

“充分条件，必要条件”内容抽象学生可接受性差，为了收到良好学习效果我打破了课堂的藩篱，让学生开展“研究性”学习，自主探究，课堂外探索，课堂内交流、讨论，调动了学生的主体性。

（二）本堂研究课的设计实现了学科的整合，增强了各种能力

针对“充分条件，必要条件”特点，单纯用数学上的实例去理解，学生觉得枯燥，难懂，尤其是记忆不扎实，因此我采取了结合日常生活中的假言推理实例后，学生觉得对数学课有兴趣，学习“充分条件，必要条件”并不难，帮助了学生，使之克服了思维的盲目性和混乱性，使学生思维走上正途――正确、敏捷，教学效果非常明显。

在本节教学设计中，我不仅注重了知识技能的掌握，同时也加强培养了学生阅读、自学能力，为培养解决数学实际应用题能力打下了基础，创设了提出问题共同探究情境，加强了学生的动手操作能力、语言表达能力、逻辑思维能力。

我想如果我们在教学中把研究课落在实处，学生肯定会受益匪浅。由于本课是本人在实践中总结设计出来的，随着时间推移本课设计中有些细节还需改进。我认为：从学生实际出发数学课也会变得生动！

【参考文献】：

1、李衍华 《生活中的逻辑学》 （工人出版社出版）

2、《12岁儿童充分条件假言推理》 方富熹、唐洪、刘彭芝 （《当代华人教育学报》第三卷一期第二篇）

于2006年9月修改。

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2006-9 “深山藏古寺”

传说古代有一次考画师，画题是“深山藏古寺”，许多考生都按题意作了画，有的画面上是重山峻岭，在松柏深处有座寺庙，有的画面上在山峦之间只露出寺庙的一角，有的只有山峦之间画出一幅高高飘着的幡，可是这些画都没有被考官选中，另有一个考生别出心裁在画面上只有起伏的山峦，密密的松林，唯独没有寺庙，也没有任何寺庙的标志，只有一个和尚正从山脚下沿着一股小道担水上山。最后这幅画被评为第一名，你知道这幅画用的什么样的推理吗？用一句话说明。

（如果有和尚担水上山，那么山里就有庙……）

宋徽宗赵佶喜爱书画，创建并主管了世界上最早的皇家画院。这位

昏君兼杰出书画家开设画学，亲自授课，建立考试制度，亲自出题批卷，培养绘画人才，开创了一代画风。有一次考试，他出的题目便是“深山藏古寺”。

有的在山腰间画座古庙，有的把古庙画在丛林深处。庙，有的画得完整，有的只画出庙的一角或庙的一段残墙断壁……。主考官司一连看了很多幅，都不满意。就在他感到失望的时候，有一幅画深深地吸引了他，他再仔细端详了一番，便连连点头称赞，说：“好，好，这才是‘魁选’之作呀！”魁选，即第一名。

那幅画好在哪里呢？好就好在构思巧妙，那位高明的画家，根本就没有画庙。画的是崇山峻岭之中，一股清泉飞流直下，跳珠溅玉。泉边有个老态龙钟的和尚，一瓢一瓢地舀了泉水倒进桶里。就这么一个挑水的和尚，就把“深山藏古寺”这个题目表现得含蓄深邃极了。和尚挑水，当然是用来烧茶煮饭，洗衣浆衫，这就叫人想到附近一定有庙；和尚年迈，还得自己来挑水，可以想象到那庙是座破败的古庙了。庙一定是在深山中，画面上看不见，这就把“藏”字表现出来了。这幅画比起那些画庙的一角或庙的一段墙垣的，更切合“深山藏古寺”的题意。

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