2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优质课教案内容

课题：§2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系

教学分析

空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系. 三维目标

1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.进一步培养学生的空间想象能力. 4.探究直线与平面平行的判定定理. 5.直线与平面平行的判定定理的应用. 6.探究直线与平面平行的性质定理. 7.体会直线与平面平行的性质定理的应用. 重点难点：正确判定直线与平面的位置关系；直线与平面平行的性质定理；直线与平面平行的性质定理的应用. 教学过程

一、复习引入： 复习：空间两直线的位置关系

二、新课讲解：

【探究1】一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 【探究2】观察长方体，你能发现长方体ABCDA'B'C'D'中，线段A'B所在的直线与长方体ABCDA'B'C'D'的六个面所在平面有几种位置关系？

直线在平面内

直线与平面有无数个公共点

a

直线与平面相交

直线与平面有且只有一个公共点

aA

直线与平面平行

直线与平面没有公共点

a//

【理解】⑴如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行，即：直线和平面没有公共点叫做直线和平面平行。应该要注意，这里所说的直线是向两边无限延伸的，平面是向四周无限扩展的；

⑵我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外，今后凡是谈到直线在平面外，都有两种情形：直线与平面相交，直线与平面平行。

⑶据定义，在求直线和平面所成的角时，应按下述三种情况依次进行考虑：

①直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角是0角；

②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角；

③直线和平面斜交时，直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角．

【探究3】线面平行的判定定理是什么？

【线面平行的判定定理】如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。【符号语言】l,m,l//ml//，可以简记为：“线线平行，则线面平

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行”

【证明】假设直线l不平行与平面,l,lP，①若Pm，则线线平行线面平行

l//．和l//m矛盾；②若Pm，则l和m成异面直线，也和l//m矛盾，

【探究4】大家仔细分析一下，判定定理告诉我们，直线与平面平行应具备几个条件？

【答案】三个，分别是平面外的一条直线，平面内的一条直线，两直线平行。这三个条件缺一不可。

【探究5】线面平行的性质定理的内容是什么？

【线面平行的性质定理】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。【符号语言】l//,l,ml//m

【证明】l//,l和没有公共点，又m,l和m没有公共点；即l和m都在内，且没有公共点，l//m。

线面平行线线平行

三、讲解范例：

【例1】判断下列命题的真假

⑴过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. （真）

⑵过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （假）

⑶若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行. （假）

⑷若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行. （真）

⑸经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行. （真）

【例2】以下命题（其中a,b表示直线，表示平面）

①若a//b,b，则a//；

②若a//,b//，则a//b；③若a//b,b//,则a//；④若a//，b，则a//b，其中不正确命题的个数是4个

【例3】已知a//,b//，则直线a,b的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交。其中可能成立的有①②③④⑤

【例4】A,B是直线l外的两点，过A,B且和l平行的平面的个数是 个。0,1,无数。

EF//平面BCD．E,F分别是AB,AD的中点，【例5】已知空间四边形ABCD中，求证：

【证明】连结BD，在ABD中，E,F分别是AB,AD的中点，EF//BD，EF平面BCD,BD平面BCD,EF//平面BCD。

【例6】求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内。

已知：l//,P,Pm,m//l，求证：m．

l//m，又∵l//m，m,m【证明】设l与P确定平面为，且m,l//,都经过点P，∴m,m重合，(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)∴m．

【例7】求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行. a//b．已知：直线a//平面，直线a//平面，平面平面b，求证：

【分析】

利用公理4，寻求一条直线分别与a,b均平行，从而达到a//b的目的．可借用已知条件中的直线a//平面，直线a//平面来实现．

【证明】经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d，∵a//平面，直线a//平面,a//c,a//d,c//d。又∵d平面,c平面,c//平面，又c平面，平面平面b,c//b,又∵a//c，所以，a∥b．

【点评】本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过

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程.这是证明线线平行的一种典型的思路. 【例8】已知M,N分别是ADB和ADC的重心，A点不在平面内，B,C,D在平面内，求证：MN//。

【证明】如图,连接AM,AN并延长分别交BD,CD于P,Q，连接PQ.

M,N分别是ADB和ADC的重心，AMAN2,MN//PQ，又MPNQPQ,MN,MN//。

【点评】利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化. 【例9】平面与ABC的两边AB,AC分别交于D,E，且AD:DBAE:EC，求证：BC//平面。

BBC//DEC【证明】AD:DBAE:ECBCBC//

DDEE

A

【例10】经过正方体ABCDA1D1D于EE1，求证：1BC11D1的棱BB1作一平面交平面AAEE1//BB1

AA1//BB1AA1//平面BEE1B1【证明】AA1平面BEE1B1AA1//平面BEE1B1AA1平面ADD1A1

BB1平面BEE1B1平面ADD1A1平面BEE1B1EE1AA1//BB1BB1//EE1

AA1//EE1【例11】已知四棱锥PABCD的底面为平行四边形,M为PC的中点,求证:PA//平面MBD.

课后作业：

1.如果平面外有两点A,B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系平行或相交。

2. 已知m,n为异面直线，m//平面,n//平面,l，则l（ ）【C】

A.与m,n都相交

B.与m,n中至少一条相交 C.与m,n都不相交 D.与m,n中一条相交

3.如果a,b是异面直线，且a//平面，那么b与的位置关系是( )【D】

A.b// B. b与相交 C. b D.不确定

4.a,b两直线平行于平面，那么a,b的位置关系是( )【D】

A.平行 B.相交 C.异面 D.可能平行、可能相交、可能异面

AA1//EE1,

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5.直线a//b,b，则a与的位置关系是( )【C】

A.a// B.a与相交 C.a与不相交 D.a

6.下列命题中正确的个数是( )【B】

①若直线l上有无数个点不在平面内，则l//；

②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；

④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点。

A.0 B.1 C.2 D.3

【分析】如图,

我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；AB1所在直线平行于平面ABCD，AB1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1//AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确；l与平面平行,则l与平面无公共点, l与平面内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.

7.如果一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )【D】

A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定

8.若直线a不平行于平面,且a,则下列结论成立的是( )【D】

A.内的所有直线与a异面 B.内的直线与a都相交

C.内存在唯一的直线与a平行 D.内不存在与a平行的直线

【分析】如图,若直线a不平行于平面,且a,则a与平面相交.

例如直线A'B与平面ABCD相交，直线AB,CD在平面ABCD内，直线AB与直线A'B相交，直线CD与直线A'B异面，所以A,B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D。

9.下列说法正确的是( )【D】

A.若直线a平行于面内的无数条直线，则a//；

B.若直线a在平面外，则a//；

C.若直线a//b，直线b，则a；

D.若直线a//b，直线b，则直线a平行于平面内的无数条直线

10.下列命题中，正确的是( )【C】

A.如果直线l与平面内无数条直线成异面直线，则l//；

B.如果直线l与平面内无数条直线平行，则l//；

C.如果直线l与平面内无数条直线成异面直线，则l；

D.如果一条直线与一个平面平行，则该直线平行于这个平面内的所有直线；

E.如果一条直线上有无数个点不在平面内，则这条直线与这个平面平行。

11.不在同一条直线上的三点A,B,C到平面的距离相等，且A,给出以下三个命题：

①ABC中至少有一条边平行于;②ABC中至多有两边平行于；③ABC中只可能有一条边与相交.其中真命题是_____________.①

【分析】如图,三点A,B,C可能在的同侧，也可能在两侧，

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12.若直线a,则下列结论中成立的个数是( )【A】

⑴内的所有直线与a异面；⑵内的直线与a都相交；⑶内存在唯一的直线与a平行；⑷内不存在与a平行的直线

A.0 B.1 C.2 D.3

【点评】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.

13.如图，a//,A是另一侧的点，B,C,D，线段AB,AC,AD交于E,F,G点，若BD4,CF4,AF5,则EG_____

20

9

14.下列四个正方体中，A,B为正方体的二个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点，其中能得出AB//平面PMN的图形序号是 ①③

15.⑴已知异面直线a,b所成的角为60，P为空间一点，则过P点与a,b的所成的角都为45的直线有 条。2

⑵已知异面直线a,b所成的角为60，P为空间一点，则过P点与a,b的所成的角都为60的直线有 条。3

⑶已知异面直线a,b所成的角为60，P为空间一点，则过P点与a,b的所成的角都为70的直线有 条。4

16.如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的中点

⑴求证：MN//平面PAD；⑵若MNBC4,PA43，求异面直线PA与MN所成的角的大小

PHDABNC1【略证】⑴取PD的中点H，连接AHNH//DC,NHDC，2NH//AM,NHAM平面AMNH为平行四边形MN//AH,MN平面PAD,AH平面PADMN//平面PAD。

⑵连接AC并取其中点为O，连接OM,ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由

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M

得，OM2,ON23，所以ONM30，即异面直线PA与MN成MNBC4,PA43，30的角。

C17.如图,正方形ABCD与ABEF不在同一平面内,M,N分别在AC,BF上，且TAMFN。求证：MN//平面CBE

M【证明】作MT//AB,NH//AB分别交BC,BE于T,H点。DAMFNCMT≌BNHMTNH，从而有MNHT为平行四边形HBMN//THMN//CBE

N

A

18.如图,E,H分别是空间四边形ABCD的边AB,AD的中点，平面过EH分别交BC,CD于F,G。求证：EH//FG

19.设P,Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如图,EF⑴证明PQ//平面AA1B1B；⑵求线段PQ的长.【答案】2a

2

20.如图,在正四棱锥SABCD中,P在SC上,Q在SB上,R在SD上,且SP:PC1:2,SQ:SB2:3,SR:RD2:1,求证:SA//平面PQR。

【证明】连接AC,BD,设交于O,连接SO,连接RQ交SO于M,取SC中点N,连接ON,那么ON//SA,而SQSR2SM2,RQ//BD,，SBSD3SO3SP2SMSP,,PM//ON,SA//ON,

SN3SOSNSA//PM,PM平面PQR,SA//平面PQR。

【点评】利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.

21.如图，正方体ABCDA1B1C1D中，E在AB1上，F在BD上，且B1EBF，求证：EF//平面BB1C1C

【证明】AFD22.

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BFM,BFMF,B1EBF,DFAE,

DFAFBFB1EMF,EF//MB1,EF//平面BB1C1C

DFAEAF

23.如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于AC,M是线段EF的中点.求证:AM//平面BDE。

24.已知AB,CD为异面线段，E,F分别为AC,BD中点，过E,F作平面//AB。⑴求证：CD//平面；⑵若AB4,EF5,CD2,求AB与CD所成角的大小.【答案】2

25.如图，已知AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段，E,F,G分别为AB,BC,CD的中点.求证：AC//平面EFG,BD//平面EFG。

设计感想

线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点.本节的难点是应用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行，本节在选题时始终围绕这个中心展开，针对性强，因此这节课目的突出，是一个精彩课例.另外，本节总结了应用线面平行性质定理的口诀，对学生的学习一定有很大帮助.

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