习题4.1ppt课件教学实录

圆的标准方程

藁城区第九中学 赵华丽

一、教材分析

学习了“曲线与方程”之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用

同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础

也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。

二、学情分析

学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学***面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

三、教学目标

(一)知识与技能目标

（1）会推导圆的标准方程。

（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。

（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。

(二)过程与方法目标

（1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。

（2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

(三)情感与态度目标

圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

四、重点、难点、疑点及解决办法

1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。

2、难点：圆的标准方程的应用。

3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

五、教学过程

首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。

(一)复习提问

在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆)．

问题2：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

王新敞王新敞

1

问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

求曲线方程的一般步骤为：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；

(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；

(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．

其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．

(二)建立圆的标准方程

1．建系设点

由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．

3．列方程

由两点间的距离公式得：

4．化简方程

将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1) 方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．

这时，请大家思考下面一个问题．

问题4：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．

教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

(三)圆的标准方程的应用

学生练习一：

1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答) 22(1)(x-3)+(y-2)=5；

(2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；

(3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）

教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．

2、(1)圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________. （2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（

）

A

x2+y2= 25

B

x2+y2= 5

C (x+3)2+(y+4)2= 25

D

(x-3)2+(y-4)2= 25 教师纠错，分别给出正确答案：2、 (1)(x-3)2+(y＋3)2=4；（2）D. 指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．

2

例1求满足下列条件各圆的方程：

（1）

求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x4y70相切的圆的方程

（2）

圆心在x轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。

解：（1）已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程

因为圆C和直线3x4y70相切，yC(1,3)rOM王新敞3x-4y-7=0x所以半径r就等于圆心C到这条直线的距离

根据点到直线的距离公式，得

王新敞r|31437|3(4)2216

5王新敞因此，所求的圆的方程是

(x1)2(y3)2256

25（2）设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=25 ∵点A（2，3）在圆上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6 ∴所求圆的方程为(x＋2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25 这时，教师小结本题：求圆的方程的方法

(1)定义法 (2) 待定系数法，确定a，b，r；

学生练习二：

1、以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________. 教师纠错，分别给出正确答案：(x－3)2+(y+5)2=32。

王新敞

例2已知圆的方程x2y2r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程

y王新敞M 解：如图，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1

因为圆王新敞rO的切线垂直于过切点的半径，于是k1

k1x王新敞∵k1y0x ∴k0 (让学生注意斜率不存在时和为0的情况) x0y0王新敞经过点M的切线方程是 yy0整理得 x0xy0yx0y0

x0(xx0)，

y022王新敞因为点M(x0,y0)在圆上，所以x0y0r2，所求切线方程是x0xy0yr2

22

3

法二：勾股定理

法三：向量

变式一：已知圆的方程为x2+y2= 1，求过点(2,2)的切线方程。

变式二：已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1 ，求过点(2,2)的切线方程。

学生练习三：

1.已知圆x2y225求：

王新敞（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________. （2）过点B（-5，2）的切线方程是_________________ 教师纠错，分别给出正确答案：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0 (四)本课小结

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；

3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法．

4. 数型结合的数学思想

5. 过定点求圆切线方程. （五）、布置作业

习题7.6 1，2，3 （六）、板书设计

7.6圆的标准方程

一、建立圆的标准方程

二．圆的标准方程的应用

学生练习

1、圆的方程的推导

例1 (x-a)2+(y-b)2=r2

例2 2、圆的标准方程的特点:

圆心（a,b）定位，r定型

六、教学反思：

为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计

所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题 其基本教学模式是：

王新敞王新敞王新敞复习

旧知

以旧

悟新

提出

问题

尝试

探究

例题

示范

探求

方法

反馈

练习

学会

应用

点评

矫正

总结

交流

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