习题1.1国家优质课一等奖

立体几何§2.1.1 平面教学设计

※知识梳理1 平面

1．平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的，平面的特征是

和

．

2．平面的画法

(1)水平放置的平面通常画成一个

，它的锐角通常画成

，且横边长等于其邻边长的

倍．如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用

画出来．如图②.

图①

图②

3．平面的表示法

图①的平面可表示为

、

、

或

．

【即时训练1】下列说法：

①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面的长是100 m，宽是90 m；④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念．

其中正确的个数为(

)

A．0

B．1

C．2

D．3

※知识梳理2 平面的基本性质

1．公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在此平面内，如图1所示．

(1)符号语言：

．

2．公理2过

的三点，有且只有一个平面，如图2所示；

(1)符号语言：A，B，C不共线⇒存在惟一的α使A，B，C∈α

3．公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

，如图3所示．；

(1)符号语言：

．

图1

图2

图3

【即时训练2】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三点可以确定一个平面．(

) (2)一条直线和一个点可以确定一个平面．(

) (3)四边形是平面图形．(

) (4)两条相交直线可以确定一个平面．(

)

※题型讲练

题型一：文字、图形、符号语的相互转化

【例1】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

(1)A∈α，B∉α；

(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；

(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.

[再练一题]

1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

(1)点P与直线AB；

(2)点C与直线AB；

(3)点M与平面AC；

(4)点A1与平面AC；

(5)直线AB与直线BC；

(6)直线AB与平面AC；

(7)平面A1B与平面AC.

题型二：点、线共面问题

【例2】已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．

[再练一题]

2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．

题型三：点共线与线共点问题

探究1

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？

探究2

上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？

【例3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线.

[再练一题] 3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.

※课堂反馈

1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”正确的是(

) A．A∈l，l∉α

B．A∈l，l⊄α

C．A⊂l，l⊄α

D．A⊂l，l∉α

2．下列说法中正确的个数为(

) ①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．

A．1

B．2

C．3

D．4 3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 4．有以下三个说法：

①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；

②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；

③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．

其中正确的序号是________．

5．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．

※课后练习 (建议用时：30分钟) [学业达标] 一、选择题

1．给出下列说法：

①梯形的四个顶点共面；

②三条平行直线共面；

③有三个公共点的两个平面重合；

④三条直线两两相交，可以确定3个平面．

其中正确的序号是(

) A．①

B．①④

C．②③

D．③④

2．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是(

) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合

3．经过空间任意三点作平面(

)

A．只有一个

B．可作两个

C．可作无数多个

D．只有一个或有无数多个

4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中(

) A．必有三点共线

B．必有三点不共线

C．至少有三点共线

D．不可能有三点共线

5．如图1，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(

)

A．点A

B．点B

C．点C，但不过点D

D．点C和点D

二、填空题

图1

图2 6．如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空：

(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；

(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；

(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；

(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．

7．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有__________个公共点．

三、解答题

8．如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上.

9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．