习题2.1第二课时教学设计

§2.1习题课(一) 《求曲线方程》教学设计

成都市第十二中学数学组

简洪权

一、

教学分析设计

【教材分析】

平面解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科。坐标法是平面解析几何最基本的方法，它是利用“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个重要概念，借助于平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质。因此，平面解析几何要解决的一个主要问题就是“根据已知条件，求出表示平面曲线的方程”，即是求曲线方程的问题。

人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学选修2-1(A版)》(以下简称《选修2-1》)通过“2.1.2求曲线方程”的例2、例3展示了根据“曲线的方程的定义”求曲线方程的一般步骤(以下称这一方法为“定义法”)，然后通过推导椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及“2.2.1椭圆及其标准方程”的例2和例3、“2.2.2椭圆的简单几何性质”的例6、“2.3.2双曲线的简单几何性质”的例5再次展现了“定义法”求曲线方程的过程。《选修2-1》在研究了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，明确了椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征后，通过“2.2.1椭圆及其标准方程”的例1、“2.2.2椭圆的简单几何性质”的例5、“2.3.1双曲线及其标准方程”的例1和例2、“2.3.2双曲线的简单几何性质”的例4、“2.4.1抛物线及其

方程”的例1和例2、“2.4.2抛物线的简单几何性质”的例3展示了求曲线方程的另一种方法，这一方法是在已知曲线方程的形式特征的基础上先设出曲线的方程,所设曲线的方程中含有需根据已知条件确定的常数，称为“待定系数”，再根据已知条件建立关于“待定系数”的方程或方程组，然后解方程或方程组求出“待定系数”的值，从而达到求出曲线方程的目的，通常把这一方法叫做“待定系数法”。

因此，可以把求曲线方程的方法分为两类：一类是定义法，即是曲线方程的定义所蕴含的方法；一类是待定系数法，即是基本的曲线方程所蕴含的方法。

【学情分析】

通过对《普通高中课程标准试验教科书

数学(必修2)》第三章直线与方程、第四章圆与方程、《普通高中课程标准试验教科书

数学(选修2-1)》第二章圆锥曲线与方程及《普通高中课程标准试验教科书

数学(选修4-4)极坐标与参数方程》的学习，学生对“曲线方程的概念”已有所感知，初步掌握了求曲线方程的方法。但分散地学习，学生难以将零散的知识和方法构建为良好的认知结构，特别是对定义法中需要通过引进参数来建立曲线上任意一点的横坐标x和纵坐标y之间的关系式的这种较为繁杂的求曲线方程问题，学生常感无从下手，不能选择恰当的参数、找到简捷的运算途径。

【教学目标】

1.

能积极参与到求曲线方程的活动中，能选择恰当的方法解答习题体会等价转化思想；

2.

能根据题设条件画出曲线，能准确地把曲线的几何特征转化为曲线的方程，初步感受形与数的对立与统一，建立形与数的关联体验；

3.

在探究曲线方程的过程中，能自主探索、交流合作，可以部分地表达探究过程中的思路，1

感受成功的喜悦，提高学习兴趣，增强合作意识。

【重难点分析】

重点：根据已知曲线的特征，选择恰当的方法求出曲线的方程

难点：对选择恰当参数，建立曲线的方程

【核心问题分析】

核心问题：解答下列习题，总结求曲线方程的方法

1.

已知过原点的动直线l与圆C:(x4)2y24相交于不同的两点A,B,求线段AB的中点M的轨迹方程.

2.

已知圆N与x轴相切,与圆M:(x6)2(y7)225外切,且圆心N在直线x6上,求圆N的方程. 3.

已知抛物线C:y22x的焦点为F,不过原点的直线l与抛物线C相交于不同的两点A,B,A,B两点在抛物线准线上的射影分别是A1,B1,若A1B1F的面积是ABF面积的两倍,求线段AB的中点M的轨迹方程.

“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”是高中数学新课程的基本理念之一。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式。数学探究学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利条件，可以激发学生的数学学习兴趣，养成独立思考、积极探索的习惯，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。

本节课是学生学习了《普通高中课程标准试验教科书

数学(必修2)》、《普通高中课程标准试验教科书

数学(选修2-1)》，《普通高中课程标准试验教科书

数学(选修4-4)极坐标与参数方程》的专题复习课，学生能解决简单的求曲线方程的问题。本设计要求学生先解答三个求曲线方程的习题，习题1的题设条件没有告知曲线的类型，可以选择定义法，也可运用平面几何知识先确定曲线的类型，再选择待定系数法；习题2的题设条件告知所求曲线是圆，可选择待定系数法；习题3的题设条件没有告知所求曲线的类型，没不易根据题设确定曲线的类型，只能选择定义法，在探寻曲线上任意一点的横坐标x和纵坐标y之间的关系式时还需引进恰当的参数。让学生在主动参与、积极探索习题的求解过程中感受求曲线方程的方法。同时，通过反思总结，让学生构建良好的认知结构，认识两类方法的共性(等价转化)，领会其实质(数形统一)。

本堂课力求实现学生“自主性学习、探究性学习、合作性学习、体验学习”的综合性学习方式。强调每个学生都要以良好的心态发掘自己的潜在智能，努力联系自身的生活、学习经验，大胆尝试、勤于动手，学会通过“做中学”，通过亲历事实索取反思体悟获得真正属于自己的知识。强调在与同学、与老师、与社会人的交往沟通、合作探究、团结拼搏中，进行资源共享，交流分享，学会用合力提升自己，用合力促进共同发展。强调在自主互动中学会寻找事物整合点进行综合思维，在综合学习活动中实现个性智能建构。

【教学媒体】多媒体电脑

二、

教学实施设计

【教学环节】

教学环节

提出问题

教师活动

提出问题：解答下列习题，总结求曲线方程的方法

学生活动

明确本节课的学习任务

设计意图

用核心问题调动学生的积极性

2

引导学生借助曲线的特征探究曲线的方程

巡视、引导、收集学生解决具体问题的方法和探索的结果

问题

解决

引导学生展示自己的思路

生活动1：学生积极主动投入到探究曲线的方程活动

生活动2：小组合作探究具体问题解决方案

生活动3：黑板上展示探究思路及结果

生活动4：三人为一个小组讨论分析各种方法的正误并分析原因，请一名同学说出本组的讨论结果

初步体验数形结合、等价转化的数学思想

1.体验数形结合思想

2.正视探究过程中遇到的困惑

1.表述探究过程及思路

2.让生学会合作交流、资源共享

反思探究过程，体验曲线的特征与曲线的方程的关联

初步感受求曲线方程的定义法、待定系数法及定义法中的参数法

引导学生评价各种方法的正误

用几何画板演示曲线，生活动5：观看演示曲线的检验学生所提出的各变化过程，并体会、领悟求种方法的正误

曲线方程的方法

方法提升

归纳提升

思想提升

1.小组合作讨论、交流解决深度体验求曲线方程的定核心问题的方法

义法、待定系数法及定义2.说出探究曲线方程的思路

法中的参数法

结合探究过程，总结其中所蕴含的思想方法

独立完成课堂反馈习题(见附录) 说出解决问题的方法

体验研究过程与方法，上升到数学本源思想

反馈运用

巡视、辅导

引导、评价

完善思维，提升巩固

【评价预设】

1.

大多数学生能借助垂径定理把曲线的特征“M是圆C的弦AB的中点”等价转化为“CMAB”；仅有部分学生能发现“CMAB，即CMOM”，以此找到习题1所求曲线上任意点的横坐标x和纵坐标y之间的关系式；只有极少数学生会考虑所求曲线在圆C内，从而正确求出习题1所求曲线的方程(x2)2y24(3x4)。

2.

大多数学生能根据选择待定系数法求出习题2所求曲线的方程；有部分学生会根据题意画出曲线，直接写出习题2所求曲线的方程，解答过程不规范。

3.

多数学生会把直线l的方程设为ykxb，却不考虑直线l斜率不存在的情形，不能ABF面积的两倍”等价转化为bk，不能求出习把题设条件“A1B1F的面积是题3所求曲线的方程；仅有少数学生能把直线l的方程设为xmyn，能把题设条件ABF面积的两倍”等价转化为n1，进而求出习题3所求曲线“A1B1F的面积是的方程。

3

4.

多数学生能说出解答习题所用的方法及其操作步骤，少数学生能各种方法使用的条件，形成解决求曲线方程问题的策略，体会其中蕴含的数学思想方法。

【板书设计】

§2.1习题课

第1讲

求曲线方程

主板书：

一．核心问题：解答下列习题，总结求曲线方程的方法

1.

已知过原点的动直线l与圆C:(x4)2y24相交于不同的两点A,B,求线段AB的中点M的轨迹方程.

2.

已知圆N与x轴相切,与圆三．反思提升

(一)方法总结：

1.定义法

(1)直译法

(2)参数法

2.待定系数法

(二).思想提升：

1.等价转化思想

2.数形结合思想

3.方程思想

四．反馈运用

副板书：（根据学生的思路及分析板出）

1．………

2．………

M:(x6)2(y7)225外切,且圆心N在直线x6上,求圆N的方程. 3.

已知抛物线C:y22x的焦点为F,不过原点的直线l与抛物线C相交于不同的两点A,B,A,B两点在抛物线准线上的射影分别是A1,B1,若A1B1F的面积是ABF面积的两倍,求线段AB的中点M的轨迹方程.

二．解决问题

开始

创设情景、提出核心问题

巡视，引导

学生活动：解决核心问题

实物投影

作出恰当点评

全班交流展示探究结果

知识归纳

归纳提升

思想提升

巡视、引导、评价

反馈运用

点拨，小结

作业布置

结束

4

附录

反馈习题

x2y21相交于不同的两点A,B,求线段AB1.

已知过点P(4,0)的动直线l与椭圆C:4的中点M的轨迹方程.

解：(1)设M(x,y)是轨迹上任意一点, x2y21的弦AB中点, (2)因为M是椭圆C:411y0y1, 所以kABkOM,即kPMkOM,44x4x4(x2)22y21. 化简得x(x4)4y0,4x2y21的弦AB中点,所以点M在椭圆C内. 因为M是椭圆C:4(x2)22x1,y1,4由2解得3

.xy21y24(x2)2y21(0x1). 故所求轨迹方程为422.

已知直线l与抛物线C:y4x相交于不同的两点A,B,O为坐标原点,若OAOB,求点O在直线l上射影H的轨迹方程. 解：(1)设H(x,y)是轨迹上任意一点, (2)因为OAOB,所以直线l过定点T(4,0). 因为H是点O在直线l上射影,所以OHAB, 即OHTH,OHTH0,(x,y)(x4,y)0, 化简得x(x4)y0,(x2)y4. 因为OAOB,所以H与原点不重合, 故所求轨迹方程为(x2)y4(0x4).

222225

x23y21相交于不同的两点A,B,3.

已知直线l与圆O:xy相切,且与椭圆C:43求OAB面积取得最大值时直线l的方程. 2233133解：(1)当k不存在时,x＝±,∴y＝±,∴S△OAB＝×3×＝；

22224(2)当k存在时,设直线为y＝kx＋m,A(x1,y1),B(x2,y2), x3＋y2＝1，联立方程得消y得(1＋3k2)x2＋6km＋3m2－3＝0, y＝kx＋m，－6km3m2－3∴x1＋x2＝,xx＝, 1＋3k2121＋3k2直线l与圆O相切⇔d＝r⇔4m2＝3(1＋k2), ∴|AB|＝1＋k·＝3·＝3×22－6km－12（m－1）

1＋3k21＋3k24k21＋

1＋6k2＋9k4221＋10k2＋9k4＝3·1＋6k2＋9k41＋41＋9k2＋6k2≤2. 13当且仅当2＝9k2,即k＝±时等号成立, k31133∴S△OAB＝|AB|×r≤×2×＝, 2222∴△OAB面积的最大值为此时m＝±3, 2311＋＝±1, 433故所求直线方程为y＝±x±1. 3

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