1.2 充分条件与必要条件（通用）教学内容概述

1.2.2 .充要条件

（一）教学目标：

1.理解充要条件的定义．

2．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系．

3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明. 若p⇒q且q⇒p，则p⇔q，就说p是q的_____________，简称充要条件，那么q也是p的________．概括地说，如果________，那么p与q互为________．

（二）教学重点难点：

（三）教学过程：

1.(2011·江西上高高二期末)对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的(

) A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

2．假设命题“若p，则q”为假，逆命题为真，则p是q的(

) A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

（四）小结：

1.充分条件、必要条件、充要条件的判断

处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件和结论，然后才能进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：

(1)定义法(直接法) 判断“若p，则q”或“若q，则p”的真假. 条件p与结论q的关系

结论

p⇒q，但qp p是q成立的充分不必要条件

p是q成立的必要不充分条件

p是q成立的充要条件

q⇒p，但pq p⇒q，q⇒p，即p⇔q pp是q成立的既不充分也不必要条件

q，qp (2)集合法．即用集合的包含关系判断，设命题p、q对应的集合

分别为A、B. 若A⊆B，则p是q的充分条件，若A⊂B，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若B⊂A，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A

B，且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

(3)等价判断法．即利用A⇒B与┐B⇒┐A等价，B⇒A与┐A⇒┐B等价，A⇔B与┐B⇔┐A等价来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．

2．充要条件的证明

(1)证明p是q的充要条件，应分两步：

①充分性：把p当成条件，结合命题的前提条件或已学知识推出q. ②必要性：把q当成已知条件，结合命题的前提条件或已学知识推出p. 综合以上可知p是q的充要条件．

（2）证明p是q的充要条件应注意的问题：

①首先应分清条件和结论，并不是在前面的就是条件，如若要证“p是q的充要条件”，则p是条件，q是结论；若要证“p的充要条件是q”，则q是条件，p是结论，这是易错点．

②必要性与充分性不要混淆．必要性是由结论去推条件，充分性是由条件推结论．

③充要性的证明必须做到充分性、必要性同时证，不要只证充分性或只证必要性. （五）课堂练习：

充要条件的判断

例1

下列各小题中，p是q的充要条件是(

) ①p：m<－2或m>6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；

f－x②p：＝1，q：y＝f(x)为偶函数；

fx③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ；

④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. A．①②B．②③

C．③④

D①④

充要条件的判断

例2下列各小题中，p是q的充要条件是(

) ①p：m<－2或m>6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；

f－x②p：＝1，q：y＝f(x)为偶函数；

fx③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ；

④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆

（六）布置作业：

1已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：

(1)p是r的什么条件？

(2)s是q的什么条件？

(3)p、q、r、s中哪几对互为充要条件？

（七）课后反思：