一、圆锥曲线的光学性质及其应用主要内容及教案内容

圆锥曲线光学性质及应用

宣城市第三中学：莘君

一、

圆锥曲线的光学性质

1．1 椭圆的光学性质：

从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．

1．2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．

双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．

1．3 抛物线的光学性质

： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）



F2

O 

F1 B D A F2 



F1 

图1.1 图1.2 图1.3 要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。

二、圆锥曲线的光学性质的应用

2．1解决入射与反射问题

例1.

设抛物线C:y2x，一光线从点A(5，2)射出，平行C

的对称轴，射在C

上的P点，经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标为____，Q点的坐标为______。

解：如图，直线AP平行于对称轴且A(5，2)，∴则P点的坐标为（4，2）

∴反射线PQ过点F(,0)

14

设Q(t2,t)，则解得：t

∴Q(11,)

64818tt21424148

15x2y2例2.

已知椭圆方程为 1，若有光束自焦2516点A(3，0)射出，如图3.1.2所经二次反射回到A点，设二次反射点为B，C，示，则△ABC的周长为

。

解：∵椭圆方程为xy 1中，c225169

251622图3.1.2 ∴A(3，0)为该椭圆的一个焦点

∴自A(3，0)射出的光线AB反射后，反射光线AC定过另一个焦点A (-3，0) 故△ABC的周长为ABBA'A'CCA4a4520

x2y2例3.双曲线C:1，又AC，已知A(4，8822)，F(4，射光通过P(8，0)，若由F射至A的光线被双曲线C反射，反k)，则k 

。

解：∵入射线FA反射后得到的光线AP的过双曲线的另一个焦点F'(4,0)

∴k22k32

128反向延长线定图3.1.3 2．2 解决一类“距离之和”的最值问题

张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和”

取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。

x2y2例4．已知椭圆C：1，F1、F2为分别是其左右焦点，点Q(2，1)，P是C上的动点，259求|MF1|+|MQ|的取值范围。

yP1'P1QF1OF2xF1OyyP1QF2xQF1OF2x

P'PP2

图3.2.2 图3.2.3 图3.2.1

（一）分析猜想：

（1）经计算，Q（2，2）点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此|MF1|+|MQ|应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。

（2）同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2.1，光线从F1P1Q），二是被下半椭圆反射（如图3.2.2，光线从F1P2F2Q），究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图3.2.1中的|P1F1|+|P1Q|<2a(2a为椭圆长轴长)，而图3.2.2中的|P2F1|+|P2Q|>2a，可见图3.2.1所示的情况距离之和更小。

但是，最大值又是多少呢？图3.2.2所示的光线又有什么特点呢？

将图3.2.1.和图3.2.2中的光线反射路线合并图3.2.3，由于|P2Q| +|P2F1|+|P1Q|+|P1F1|是定值4a(a为椭圆长半轴长)，而|P1Q|+|P1F1|由前面知最小，由此猜测|P2Q| +|P2F1|可能就是最大值。

（二）证明|P1F1|+|P1Q|是最小值。

如图3.2.2，连接Q F2，延长交椭圆于P2，在椭圆上另取一点P2，由椭圆定义知：|P2Q|-|QF2| +|PF1| = |P2F1| +|P2F2|（*），因为|P2F2|≥|P2Q|-|QF2|，代入（*）式得|P2Q|-|QF2| +|P2F1|≥|P2F1| +|P2Q|-|QF2|所以，|P2Q| +|P2F1|≥|P2F1| +|P2Q|。猜想得证。

（三）计算：

综上所述，只需求出|F2Q|(42)242210

可得最小值为2a|F2Q|10210

最大值为2a|F2Q|10210. 229y2例5．已知双曲线C：x1， F1、、F2为分别是其左右焦点，点Q(4,)，M是C上232的动点，求|MF2|+|MQ|的取值范围。

分析猜想：经计算，Q点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然|MF2|+|MQ|可以无限大，故要求|MF2|+|MQ|的取值范围，关键是求出|MF2|+|MQ|的最小值。根据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从F1射出经双曲线反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从F1射出被双曲线反射后经过点Q的光线：连接F1Q，与双曲线的交点即为使得|MF2|+|MQ|最小的点，设为P点，光线从F2PQ。（见图2）

（二）证明：如图2：按猜想作出点P，由于所求点P显然不在双曲线的左支上（此时显然距离之和不会最小），故在右支上另取一点P，由双曲线定义知：|PF1|-|PF2| = |PF1| -|PF2|，即|PF1|+|PF2| = |PF1| +|PF2|，因为|PF1|+|PQ|≤|PQ| +|PF1|，两边同加|PF2|得：所以|PF1|+|PQ| +|PF2|≤|PQ| +|PF1|+ |PF2|=|PQ| +|PF1|+|PF2|，故|PQ|+|PF2|≤|PQ|+|PF2|，猜想得证。

（三）计算：由题意知

9∵F1(2,0),Q(4,)

2∴|PQ||PF2||FQ1||F1P||PF2|

4QP2P'F2

=|FQ1|(|F1P||PF2|)

=|FQ1|2A

=11

2-5F1

O-25-4例6．已知抛物线C：y24x， F是其焦点，点Q(2,1)，M是C上的动点，求|MF|+|MQ|的图3.2.5 取值范围。。

分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过Q与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为P点（见图3.2.6）。可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且|PF|+|PQ|≥3 3．3．

圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。

光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的切线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。

以椭圆为例：如图3.3.1，l是过椭圆周上一点P的椭圆的切线，m是P点处的法线，光线从F1（F2）射出被椭圆反射经过F2（F1），满足∠1=∠2，且∠3=∠4。

lP

4123

OF1F2m

图图3.3.1

25-2x2y2例7．已知l是过椭圆C：1上一动点P的椭圆C的动切线，过C的左焦点F11612作l的垂线，求垂足Q的轨迹方程。

分析：如图3.3.2，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐。由于l是椭圆的切线，切点为P，联想到椭圆光学性质

及反射定律，可知：l是∠F1PF2的外角平分线， F1关于直线l的对称点F2在F2P的延长线上。这样，由于| P F1| =|PF2|，故

|F1F2|=|P F

1|+|PF2|=2a=8，而Q、O分别是F1F1、F2F2的中点，所以|QO|=4。从而Q22点轨迹是以O为圆心、以4为半径的圆。即点Q的方程为xy16