复习题教案3

《最短路径问题探究》教学设计

青岛经济技术开发区第四中学 刘晓燕

【教学内容】

根据八年级学生学习内容以及练习中出现的问题，进行了一个专题复习课。

【教材分析】

《最短路径问题探究》本节课是在学习了基本事实：“两点之间线段最短”和轴对称的性质、勾股定理的基础上，引导学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题。它既是轴对称、勾股定理知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用．对于本节课的内容，北师大版教材没有单独编排，只是随着学生数学学习的不断推进，逐步添加了部分题目来逐步渗透，这也使大部分学生忽视了这一知识点，在学生应用这部分知识解决实际问题时存在一定的难度。基于八年级学生的学习内容和学生的接受程度，本节设计整合了一些以三角形、正方形、立体图形为背景的最短路径问题，让学生直面数学模型，体会数学的本质，有利于学生系统的学习知识，同时设计一道代数式的计算问题将模型的应用提升到一个新的高度。

【教学目标】学生能够利用基本事实“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”，从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型，体会轴对称的“桥梁”作用。同时在解决蚂蚁吃蜂蜜问题能将立体图形中的“最短路径问题”转化为平面图形来解决，应用几何模型解决代数问题，感悟转化思想。

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【教学重点】：通过利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题，学会从知识内容中提炼出数学模型和数学数学方法。

【教学难点】：从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型。突破难点的方法：对应模型,找出本质问题。

【突出重点的方法】：通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点。 【突破难点的方法】：勾股定理、线段公理和轴对称性质的灵活运用和提升是个难点，指导学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学中要充分运用多媒体教学手段，通过启发引导，小组讨论，例题讲解，变式提升、归纳总结来帮助学生理解知识的应用和方法的提升，层层深入，逐一突破难点。

【教学过程】

（一）创设情景 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．

你能用所学的知识解决这个问题吗？

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B A

l

【学生活动】学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识. 【设计意图】从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望. （二）知识回顾 1.如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，选择哪条路距离最短？你的理由是什么？

2.你能说出轴对称的性质吗？

3.勾股定理。

【学生活动】在教师的引导下回顾旧知识。

【设计意图】为本节课的学习扫清知识障碍。

（三）模型建构

1、

在公路l两侧有两村庄，现要在河边L建一泵站P分别向A、B两村庄同时供水，要使泵站P到A村、B村的距离之和最短，确定泵站P的位置

2、如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边L建一泵站P分别向A、B两村庄同时供水，要使泵站P到A村、B村的距离之和最短，确定泵站P的位置。

ACDEBF

3

【设计意图】通过一个很简单的实际问题，让学生认识到数学来源于生活，服务与生活，增强学生的应用意识。

2.你能解决“将军饮马问题”吗？

活动1：观察思考，抽象为数学问题

将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直

线． 。

。A B

活动2：

你能用自己的语言说明这个问题的意思，

并把它抽象为数学问题吗？ 【学生活动】学生尝试回答，

并互相补充，最后达成共识：

（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地

到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设P 为直线上的一个动点，

上面的问题就转化为：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P是直线上的一个动点，当点P在l 的什么位置时，PA+PB最小？ B l

。

。A

强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”

【设计意图】让学生经历观察、叙述、画图等过程，培养学生把生活

4 l

问题抽象为数学问题的能力。

活动3：尝试解决数学问题

你能利用轴对称的知识解决这个问题吗？

【学生活动】学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充。教师适当提示。

作法：

（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l 相交于点P。

则点P 即为所求．

如图所示：

A

B C l

【学生活动】在教师的引导下，积极思考，同伴交流，尝试解决实际问题。

【设计意图】学以致用，利用轴对称知识解决问题，及时进行学法指导，引导学生进行方法规律的提炼总结。

3.模型分析

已知直线l 和A、B两点，点P是直线上的一个动点，当点P 在l 的什么位置时，PA+PB最小？ （1）A、B两点在直线异侧时：

5

A

·

l

·

B

（2）A、B两点在直线同侧时：

B

··

A

l

【设计意图】引导学生梳理总结从实际问题中抽象出来的数学模型，形成认知结构，增强从复杂问题中找出基本图形的能力。

（四）模型应用

典型例题（一）

已知正方形ABCD的边长为4，F为BC边的中点， P为对角线AC上的一动点，要使 PF+PC的值最小，

试确定点P的位置，并求出最小值.

变式练习：在正方形ABCD中，E是AB上的一点，BE=2，AE=3，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 。

【设计意图】（1）帮助学生灵活的从复杂的图形中抽出基本模型

（2）引导学生找出模型中已知直线L和A、B两点，提高学生分析题目的能力，提升思维的层次。

典型例题（二）

如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底

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4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．

【学生活动】（1）将立体图形转化为平面图形。（2）在教师的引导下从问题的情境中逐步得出问题的本质：点A，C 在直线L 的同侧，点P是直线上的一个动点，当点P在l 的什么位置时，PA+PB最小？

（3）综合运用数学模型和勾股定理解决问题。

【设计意图】引导学生将立体图形转化为平面图形，利用“最短路径”数学模型来解决问题。训练学生的思维，提高分析问题的能力，培养模型思想。

几何模型的代数应用

1、如何求代数式

的最小值呢？ ，连结AC、，,如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则则问题即转化成求AC+CE的最小值．当A、C、E在同一直线上时，

AC+CE的值最小，于是可求得

7 的最小值等于

。

2、请你根据上述的方法和结论，代数式于

的最小值等【学生活动】（1）学生分析代数式的特点。（2）在教师的引导下从问题的情境中逐步得出问题的本质：点A，C 在直线L 的同侧，点P是直线上的一个动点，当点P在l 的什么位置时，PA+PB最小？

（3）综合运用数学模型和勾股定理解决问题。

【设计意图】引导学生分析代数式的特点，利用“最短路径”几何模型来解决代数计算问题，体现数形结合思想

（五）反思小结

本节课我学会了……

【设计意图】引导学生从知识、方法、数学思想方面进行归纳总结： 1、解决上述问题运用了什么知识？（知识）

2、在解决问题的过程中运用了什么方法？（方法）

3、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？（数学思想）

（六）达标检测，拓展提升

1、如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为_____________．

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2、（供学有余力的学生做）如图，点P在∠AOB内部，且∠AOB度数为45°,OP=2cm,在射线OA、OB上找点E、F，使PE+EF+FP之和最小，并求出最小值

AP0B

【设计意图】思维变式训练，提升学生的思维层次，让学生学会思考，学会提问。

（七）布置作业，巩固提高：

1、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+4的图象与x、y轴分别交于点A、B两点，OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，当△PCD的周长最小时，求P点坐标．

2、设计一道类似“求计算出来，尝试总结出题的规律。

【设计意图】（1）帮助学生灵活的从复杂的图形中抽出基本模型（2）提高学生分析题目的能力，提升思维的层次。

9 最小值”的计算问题，并

【板书设计】

最短路径问题探究

几何模型

两点之间线段最短、勾股定理、轴对称

转化、数学结合、

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