存在既不是整数，也不是分数的数优质课教案整理

第二章

实数

1．数怎么不够用了

成都三十三中学校

尹晓英

一、学生起点分析

八年级学生已经在学习《有理数》的过程中体会到数不够用了，刚刚学完《勾股定理》，再次感受到需要研究新的数了.在此基础上，学生能在“需要—探究—发现—论证”式的课堂中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法，从非常直观的操作中发现问题，实现数的发展.

二、教材任务分析

《数怎么不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节. 本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受数的发展，建立无理数的概念，第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数.这是第1课时，学生将在具体的背景中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的产生的实际背景和引入的必要性，并能判断一个数是无理数，并能说出理由.

三、教学目标分析

（一）教学目标

知识与技能目标

1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2．能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由. 过程与方法目标

1．学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神. 2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断识别某些数是否为有理数、无理数，训练他们的思维判断力. 3．借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力. 情感与态度目标

1．激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情. 2．引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作精神与钻研精神，借助计算器进行估算.

3．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋半的献身精神. （二）教学重点

1．让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2．会判断一个数是否为有理数，是否不是有理数. 3．用计算器进行无理数的估算. （三）教学难点

1．把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2．无理数概念的建立及估算. 3．判断一个数是否为有理数.

四、教学学法

1．教学方法：引导、探究、发现与合作交流相结合. 2．课前准备：多媒体，两个边长为1的正方形，剪刀，短绳.

五、教学过程：

本节课设计六个教学环节；第一环节：章节引入；第二环节：本节引入；第三环节：活动探究；第四环节：献身科学，执着追求；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.

第一环节：章节引入

内容：a.小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了两个数学题：（1）两个数3.252525……与3.252252225……一样吗？它们有什么不同？

（2）一个边长为6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？

你能帮小红解决这个问题吗？

b .你能求出面积为2的正方形的边长吗？你知道圆周率的精确值吗？它们能用整数或分数（即有理数）来表示吗？

意图：通过这些问题，学生将发现，现实生活中存在不同于有理数的数，从而感受到需要学习新的数，激发学生的求知识欲望. 效果：通过对实际问题的了解、解决，感受实际生活中需解决的问题，激发学生的好奇心和求知欲，引出本章课题《第二章

实数》.

第二环节：复习引入

q数，且p≠0）叫做有理数，当p=1，q为任意整数时，有理数p

就是指所有的整数，如：21内容：a.阅读下面的资料，在数学中，有理数的定义为：形如qpqp的数（p、q为互质的整 =-2等，当p≠1时，由p、q互质可知，有理数5就是指所有的分数，如11，-1，-2377等，综上所述，有理数就是整数和分数的统称. 请用上述材料中所涉及的知识证明下面的问题： a.直角边长分别为3和1的直角三角形的斜边长是不是有理数？

b.复习前面学过的数，有理数包括整数和分数，有理数范围是否满足实际生活的需要呢？

意图：回顾前面学过的数和范围，为数的扩充和发展做好铺垫，也可由问题a直接进入本课的学习. 效果：学生通过知识回顾，再次感受数的扩充和发展的必要，为学习本节课在知识上、情感上作好准备.

第三环节：活动探究

（一）发现新数

内容：将课前已准备好的两个边长为1的小正方形剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形. 在学生活动的基础上，教师利用多媒体展示其中一种剪拼过程，并抛出下面的议一议：

（1）设大正方形的边长为a，a应满足什么条件？

（2）满足：a=2的数a是一个什么样的数？a可能是整数吗？说明你的理由？

2（3）a可能是分数吗？说说你的理由？

引出课题《数怎么又不够用了》

意图：让学生通过分析，探索发现问题，感受数不够用了，感受无理数的产生的现实背景和必然性，培养学生严密的逻辑性推理能力. 效果：学生拿出课前准备好的两个边长为1的小正方形

，通过师生互动、生生互动，调动学生学习的自主意识，在此基础上进行分组讨论，a=2中的a既不是整数，也不是2分数，本环节通过独立思考和小组讨论，培养学生的动手能力、合作能力、推理能力，初步感受a既不是整数也不是分数. （二）感受新数的广泛性

内容：

面积为5的正方形，它的边长b可能是有理数吗？说说你的理由。 意图：进一步感受不是有理数的数，感受新数的广泛性。同时，也是对内容1 的巩固与发展。

效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性。

（三）巩固验证，应用拓展

内容：a． B，C是一个生活小区的两个路口，BC长为2千米，A处是一个花园，从A到B，C两路口的距离都是2千米，现要从花园到生活小区修一条最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分数吗？说明理由. b．如图（1）是由16个边长为1的小正方形拼成的，试从连接这些

小正方形的两个顶点所得的线段中，分别找出两条长度是有理数的线

段，两条长度不是有理数的线段. 意图：通过练习，巩固新知，同时也让学生感受到新数的运用。

第四环节：介绍历史，开阔视野

内容：早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说，为此希伯斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现. 意图：进一步丰富无理数的背景，通过史料，培养学生为捍卫真理而勇于献身的精神，鼓励学生敢于对问题质疑、挑战.

效果：开阔了学生的视野，激发了学生的学习兴趣

，产生了很好的教育效果。

第五环节：课时小结

内容

a．谈谈本节课你有什么收获与体会？有哪些困难需要别人帮你解决？

b．感受数不够用了，会确定一个数是有理数或不是有理数. c．本节课用到基本方法：动手、操作、观察、思考，猜想验证，推理，归纳等过程，获取数学知识. 意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化. 效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结.

第六环节：布置作业

习题2.1

六、教学反思

复杂的学习领域应针对学习者先前的经验和兴趣，只有这样，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的.本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，同时通过学生的反思：a既不是整数，那么a究竟是什么

样的数呢？让学生感受到学习无理数的必要性.在教学过程中，教师要关注学生对“a既不是整数，也不是分数”的理解和应用过程，从而发展学生的数感，借助计算器进行了探索正方形边长的活动，得到无理数存在的必然性，对这个结论再给予一定的理论分析，从中体会数的发展，关注学生能否准确地利用计算器进行探索活动. 附：板书设计

第二章 实数

2.1数怎么不够用了（一）

a

是有理数吗？ 做一做

解：

a=2 ， 1< a<4 ， （1）

22得到1< a<2，

a一定不是整数。

因为

a=2， （2）

2所以

a一定不是分数。

2在等式a=2中，a既不是整数， 小结：

也不是分数，那么a一定不是有理数。