阅读与思考 多边形的三角剖分教学评价实录

多边形的内角和

授课教师：广元东城实验学校 昝超

一、教学目标

1．知识目标

掌握多边形的内角和公式及其运用。

2．能力目标

通过引导学生自主探究多边形内角和公式，培养学生探究问题的方法与能力；让学生尝试从不同角度寻求探究问题的方法并能有效的解决问题，训练学生的发散性思维和培养他们的创新精神。

3．情感目标

通过实例引入，使学生体验数学来源于生活，又服务于生活，唤起学生学数学的兴趣和应用数学的意识。在自主探究、合作交流的过程中，感受数学活动的重要意义和合作成功的喜悦，提高学生学习的热情和合作意识。

二、重点和难点

重点：多边形的内角和公式的探索以及运用公式进行有关计算。

难点：如何引导学生参与到探索多边形的内角和公式的过程。

三、教学过程

1、情境创设，激发求知欲

多媒体投影：

（1）好漂亮的地板！这是怎么铺设的？一点空隙也没有。

（2）我们可以利用多边形设计一些美丽的图案。

（3）啊！拼不了啦，为什么呢？你能说说道理吗？

师：这里其实涉及到多边形内角和以及拼图的问题，为了掌握其中的道理，今天我们首先研究多边形的内角和。

引入课题，教师板书。

（设计意图：让学生感受数学来源于生活并应用于生活以及发现生活中数学的美，达到激趣。最后设疑，达到生疑与欲质疑，自然引入探求新知）

问题1、三角形的内角和等于多少度?如何得到的？

生：180º；通过测量或剪拼发现三角形的三个内角和为180º或刚好组拼成一个平角，由此可想到通过作平行线把三角形的三个内角平移组合成平角或两直线1

平行同旁内角互补的方法得于验证。```

问题2、教室中有四边形的物体吗？是怎样的四边形？内角和分别是多少度？

问题3、猜一猜：任意一个四边形的内角和可能是多少度？ 生：因为任意三角形的内角和为180º，而长方形和正方形的内角和为360º，因此可猜想：任意一个四边形的内角和为360º。

（设计意图：由已知的三角形和特殊的四边形的内角和自然过渡到探究任意四边形的内角和来创设问题情境，尊重学生已有的知识与经验，培养学生由特殊到一般探究问题的方法。）

2、师生互动，探究新知

问题4、如何验证你的猜想呢？

生：可用类似于探究三角形的内角和的方法来尝试解决此问题。

1、实践操作：A组的同学测算、B组的同学剪拼课前备好的四边形纸片的四个角。

A组学生1：测算得到四边形的内角和为360º；

B组学生2：剪拼得到四边形的四个内角组合成一个周角：

（设计意图：在“做中学”，让学生亲身体验数学发现的过程，再次增强动手操作能力和合作交流分享意识。）

师：通过几何画板演示，再次证实这一猜想。

2、探究：你能说明自己的猜想与操作结果是否正确吗？ 生1：因为360º=2X180º，因此可以考虑通过作四边形的一条对角线刚好把四个内角分割成两个三角形的内角，从而得到四边形的内角和为360º。（图1）

老师提问：还有其他方法吗？

生2：如图2的分割法，利用三角形的内角和和周角也可以得到四边形的内角和为360º。即：4×180º-360º=360º

2

（4）

（设计意图：从实验几何过渡到论证几何，培养学生探究问题的方法思路和逻辑思维能力。）

问题5、你能用类比的方法得出五边形和六边形的内角和各是多少吗？

生1：如图3，五边形的内角和为：3×180º=540º；六边形的内角和为：

4X180º=720º。

（3）

（4）

生2：如图4，五边形的内角和为：5×180º-360º=540º；六边形的内角和为：

6×180º-360º=720º。

问题6、哪位同学的方法更简便些？

生：生1。

（设计意图：让学生学会用类比的方法探究问题，目的是让学生能从中找到规律，为后面求n边形的内角和打基础。）

问题7、请根据以上生1的探究过程填写下面表格的第二、三、四列。

多边形

从多边形一个顶点引出的对角线的条数

4

5

6

n

3

上面的对角线将多边形分成三角形的个数

多边形的内角和

的探究吗？

问题8、你填写的数字与多边形的边数相关吗？能从中找到规律并完成第四列师生共同探讨：从四边形的一个顶点可以作一条对角线，把四边形分割成两个三角形，从而四边形的内角和可表示为：（4-2）×180º；同理五边形的内角和和六边形的内角和可分别表示为：（5-2）×180º：（6-2）×180º；以此类推从n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把n边形分割成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为：（n-2）×180º。

生：

多边形

从多边形一个顶点引出的对角线的条数

上面的对角线将多边形分成三角形的个数

多边形的内角和

(4-2)

•180º

(5-2)

•180º

(6-2)

•180º

(n-2)•180º

4-2

5-2

6-2

n-2

4

4-3 5

5-3 6

6-3 n

n-3

（设计意图：根据新课程理念教师是课程的创造者与开发者，把课本中的文字式填空改编为表格式填空，这样使学生更容易从中发现规律，既突出重点又易突破难点。）

问题9、你能归纳出n边形的内角和公式了吗？

生：n边形的内角和等于(n-2)•180º。

（设计意图：形成公式以及培养学生的归纳能力。）

问题10、同学们对此公式有疑问吗？

教师可视学生回答情况给予如下提示：n可以是1或1/3吗？（n-2）表示什么？

问题11、刚才大家是用什么方法求出四边形、五边形、六边形的内角和的? 生：通过从多边形的一个顶点作对角线把它分割成三角形，从而可以把探求4

多边形的内角和转化为求已知的三角形的内角和。

问题12、同学们对公式的探究还有什么问题或方法吗？

生：还可以用其它的分割方法得到公式。

问题13、好!下面以六边形为例，请同学们继续用“分割”法探究多边形的内角和公式。

请同学们分小组合作探讨，想出方法的小组派代表上黑板画出分割图形。

师：点与多边形有几种位置关系？

生：三种位置关系：点在边上（又可分为点在线段的端点和不在端点）、点在内部、点在外部。

（5）

（设计意图：让学生尝试从不同角度寻求探究问题的方法并能有效的解决问题，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神和合作探究的良好品质。）

问题14、上面是用割的方法；可以用补的方法或做平行线的方法吗？

老师给出以下提示图，请同学们课后再次共同合作探究并再思考是否还有其它的方法。

（6） （设计意图：进一步培养学生勇于探索求异与创新的精神以及发散性思维。培养学生带着问题走进课堂以及带着问题走出课堂的问题意识和问题能力。）

问题15、以上探究多边形的内角和公式运用了哪些思想方法？

5

生：运用了猜想、实验操作、由特殊到一般、类比、把未知转化为已知的转化思想等方法；从不同的角度和方面思考问题还可以得到不同的解决问题的方法。

3、范例教学

例：一个多边形的内角和为1080º，它是几边形？（补充例题）

方法一：1080º÷180º+2=8；

方法二：解：设这个多边形的边数为n

则

（n-2）•180°=1080º

得

n=8

所以这个多边形是八边形

（设计意图：开发教师资源，突出重点，让学生掌握应用方程思想方法去解决几何问题及书写格式，体现新课改代数与几何的交汇。同时既可达到对一元一次方程的应用的复习又可为下一章学习二元一次方程组打基础。）

4、练习反馈

初步应用，巩固新知（抢答）

1、七边形的内角和等于

度；

一个n边形的内角和为1800º，则n= 。

2、从多边形一个顶点出发可引7条对角线，则这个n边形的内角和为（ ）

A、1620º B、1800º C、900º D、1440º

3、一个多边形边数每增加1条时，其内角和增加（ ） A、180º B、360º C、不变 D、不能确定 （设计意图：与探究多边形的内角和的过程相呼应以及多边形内角和公式的基础运用，让学生人人都能获得必需的数学。） A 变式训练（可以合作交流完成） B 4、一个多边形的各内角都等于120º，

它是 边形？ D C 5、如图（3）：在四边形A B C D中，若∠A+∠C=180º， （7）

则∠B与∠D有什么关系？你能说明理由吗？（课本例1改编）

（设计意图：开发教师资源，让不同的人在数学上得到不同的发展，培养学生的思维灵活性及成就感。）

探究

6、小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008ْ

的多边形图案多有意义，小明的想法能实现吗？

6

7、把一块多边形的木料锯掉一个角后，所得的多边形的内角和为多少度？

（设计意图：对公式的深化应用。也让学生再次体会数学来源于生活并应用于生活，与导入新课相呼应，再次激起学生学数学的兴趣高潮和学以致用意识，题2设计成结论开放形以培养学生的发散性思维。）

5、课堂小结

1、这节课你掌握了哪些新知？

2、你学会了哪些重要方法？有什么启示？

（设计意图：通过自我小结，既明确了本节课的学习目标，强化了重点，理清了知识脉络，又实现了自我反馈，从而建构起自己的知识经验。） 6、作业 A B 必做题：课本第90页第4、7、 选做题：课本第91页第9题。 E F （设计意图：巩固新知，给不同层次的学生 以不同的需要。） 七、课后思考合作交流 D （4） C 1、再探多边形的内角和公式。 2、如图（4）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 度 （设计意图：培养学生课内、课外都主动合作探究学习的良好习惯与品质。）

教学设计说明：

根据教材分析和新课程理念，为了实现教学目标，本节课在教学方法上遵循“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生问题意识和问题能力为目标”的原则，采用问题性教学模式，通过创设研究问题的情境，运用“引导发现法”，并结合实验、多媒体等先进教学手段进行教学。启发、引导学生积极思考，勇于自主和合作探索新知，达到充分发挥学生的主动性、积极性的主体地位。在学法上，本节课通过设计问题串，引导学生亲身实践知识的发生、发展、形成的认知过程。指导学生猜想—实验—探究—归纳去发现与探索新知、引导学生从不同的角度思考问题以培养学生的发散性思维，使学生在潜移默化中领会学习方法，以培养学生会学数学。在练习中培养学生自评自纠，以提高学生的数学素养。在教学手段上采用多媒体教学，可以增大教学容量，提高教学质量和教学效率。

本教案是根据《指导纲要》的要求，结合教材内容以及新课程理念从知识、能力、情感等方面确定了教学目标；以学生身边的数学和新旧知识的切入口设计成阶梯形问题串，采用“引导发现法”组织学生参与“猜想—实验—探究—归纳”探索新知和获得新知，在教学中还注意培养学生的合作探讨意识和自评自纠的良好习惯，从而使素质教育落到实处。新课的导入，设计了与生活相关的实际问题，结束又运用所学知识解决了实际问题，前后呼应，形成了一个课堂教学的整体。7

课后提高题是将上述问题进一步延伸，给学生留下了思维发散的时间和空间。

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