利用完全平方差公式进行因式分解优质课教学设计

4.3 公式法（二）

●课 题

§4.3 公式法（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. （二）能力训练要求

在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力. （三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力. ●教学重点

让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. ●教学难点

让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. ●教学方法

观察—发现—运用法

●教具准备

投影片两张

第一张（记作§4.3.2 A）

第二张（记作§4.3.2 B）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学***方差公式

22（a+b）（a－b）=a－b

而且还学***方公式

222（a±b）=a±2ab+b

本节课，我们就要学***方公式分解因式. Ⅱ.新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点. ［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

［生］可以. 将完全平方公式倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2. 便得到用完全平方公式分解因式的公式. ［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找

1

出这个多项式的特点. ［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解. ［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍. 右边的特点：这两数或两式和（差）的平方. 用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 2222形如a+2ab+b或a－2ab+b的式子称为完全平方式. 由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. 投影（§4.3.2 A）

练一练

下列各式是不是完全平方式？

2（1）a－4a+4; 22（2）x+4x+4y; （3）4a+2ab+2212b; 42（4）a－ab+b; 2（5）x－6x－9; 2（6）a+a+0.25. ［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍. ［生］（1）是. （2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；

（3）是；

（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍. 2（5）不是，x与－9的符号不统一. （6）是. 2.例题讲解

［例1］把下列完全平方式分解因式：

2（1）x+14x+49; 2（2）（m+n）－6（m +n）+9. ［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式. 2222解：（1）x+14x+49=x+2×7x+7=（x+7）

2222（2）（m +n）－6（m +n）+9=（m +n）－2·（m +n）×3+3=［（m +n）－3］=（m +n2－3）. ［例2］把下列各式分解因式：

22（1）3ax+6axy+3ay; 22（2）－x－4y+4xy. ［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察

2

它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式. 如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式. 22解：（1）3ax+6axy+3ay

22=3a（x+2xy+y）

2=3a（x+y）

22（2）－x－4y+4xy

22=－（x－4xy+4y）

22=－［x－2·x·2y+（2y）］

2=－（x－2y）

Ⅲ.课堂练习

a.随堂练习

1.解：（1）是完全平方式

x2－x+1211212=x－2·x·+（）=（x－）

4222（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求. （3）是完全平方式

12m+3 m n+9n2

41122=（ m）＋2× m×3n+（3n）

2212=（ m +3n）

2（4）不是完全平方式

222.解：（1）x－12xy+36y

22=x－2·x·6y+（6y）

2=（x－6y）; 4224（2）16a+24ab+9b

222222=（4a）+2·4a·3b+（3b）

222=（4a+3b）

22（3）－2xy－x－y

22=－（x+2xy+y）

2=－（x+y）; 2（4）4－12（x－y）+9（x－y）

22=2－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］

2=［2－3（x－y）］

2=（2－3x+3y）

b.补充练习

投影片（§4.3.2 B）

把下列各式分解因式：

22（1）4a－4ab+b; 222（2）ab+8abc+16c; 2（3）（x+y）+6（x+y）+9;

3

m2mn2（4）－+n; 6144（5）4（2a+b）－12（2a+b）+9; 2y2124（6）xy－x－

5100解：（1）4a－4ab+b=（2a）－2·2a·b+b=（2a－b）; 222222（2）ab+8abc+16c=（ab）+2·ab·4c+（4c）=（ab+4c）; 2（3）（x+y）+6（x+y）+9 2=（x+y+3）; 22222m2m2mmmn222（4）－+n=（）－2××n+n=（－n）; 1212126144（5）4（2a+b）－12（2a+b）+9 22=［2（2a+b）］－2×2（2a+b）×3+3

2=［2（2a+b）－3］

2=（4a+2b－3）; 2y2124（6）xy－x－ 510012y2=－（x－xy+）

51004=－［（x）－2·x·=－（x－2222yy2+（）］

1010y2）

10Ⅳ.课时小结

这节课我们学***方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：

（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式. Ⅴ.课后作业

习题2.5 2221.解：（1）xy－2xy+1=（xy－1）; 22（2）9－12t+4t=（3－2t）; （3）y+y+22112=（y+）; 422（4）25m－80 m +64=（5 m－8）; x2x22（5）+xy+y=（+y）; 24

4

（6）ab－4ab+4=（ab－2）

22.解：（1）（x+y）+6（x+y）+9 2=［（x+y）+3］

2=（x+y+3）; 22（2）a－2a（b+c）+（b+c）

2=［a－（b+c）］

2=（a－b－c）; 223（3）4xy－4xy－y

22=y（4xy－4x－y）

22=－y（4x－4xy+y）

2=－y（2x－y）; 23（4）－a+2a－a

23=－（a－2a+a）

2=－a（1－2a+a）

2=－a（1－a）. 3.解：设两个奇数分别为x、x－2,得

x2－（x－2）2

=［x+（x－2）］［x－（x－2）］

=（x+x－2）（x－x+2）

=2（2x－2）

=4（x－1）

因为x为奇数，所以x－1为偶数，因此4（x－1）能被8整除. Ⅵ.活动与探究

写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式. 分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解. 参考答案：

32234ab－4ab+ab

22=ab（4a－4ab+b）

2=ab（2a－b）

●板书设计

§4．3．2 运用公式法（二）

一、1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点

投影片（§4.3.2 A）

2.例题讲解

例1、例2 二、课堂练习

a.随堂练习

b.补充练习（投影片§4.3.2 B）

三、课时小结

四、课后作业

222

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