直角坐标系中图形的平移与坐标的变化精品学案

10.4 平移

1．通过实例认识平移，理解平移的含义，了解平移是图形位置上的一种变换．

2．理解平移性质，掌握平移前后两个图形的关系，正确认识平移前后两个图形对应点连线平行且相等．

3．会根据平移的性质画图，能根据平移设计出简单图案．

4．通过平移的学习，进一步发展空间观念，增强审美意识．

1．平移的有关概念

(1)平移的概念：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移．

理解这个概念应注意如下几点：

(1)平移是图形在同一平面内所作的直线运动．

(2)图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离．这两个要素是图形平移的依据．

(3)图形的平移是指图形的整体平移，即经过平移后的图形与原来的图形相比只是位置发生了变化，其余什么都没有改变．

(2)对应点：平移时，原图形上的所有点都沿同一个方向移动相同的距离，原图形上一点A平移后成为点A′，这样的两点叫做对应点．

【例1－1】判断下列现象中是平移的有几种？(

)．

(1)篮球运动员投出篮球的运动；(2)升降机上上下下运送东西；(3)空中放飞的风筝的运动；(4)飞机在跑道上滑行到停止的运动；(5)铝合金窗叶左右平移；(6)电脑的风叶的运动．

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

解析：根据平移的概念和特征很容易判断．(2)(4)(5)是平移；(1)(3)(6)不是平移．

答案：B 【例1－2】如图，菱形ABCD(图1)与菱形EFGH(图2)的形状、大小完全相同．

请从下列序号中选择正确选项的序号填写：

①点E，F，G，H；②点G，F，E，H；③点E，H，G，F；④点G，H，E，F.

如果图1经过一次平移后得到图2，那么点A，B，C，D的对应点分别是__________．

解析：根据平移的定义，把握住图形的特征，从而找出对应顶点．因此我们确定平移后的对应点为①中所示．

答案：①

2．平移的性质

(1)平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．

(2)一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等．

理解平移的基本性质时应注意如下几点：

(1)这个基本性质刻画了图形在平移运动中的不变性，表达了“不改变图形的形状和大小”的全部含义．

(2)要注意正确找出“对应线段、对应角”，从而正确表达基本性质的特征．

(3)“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作平移图形之间的性质，又可作平移作图的依据．

(4)对应点所连的线段，都等于平移距离，并代表平移的方向．

【例2－1】如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是(

)．

A．△ABC与△DEF能够重合

B．∠DEF＝90°

C．AC＝DF

D．EC＝CF

解析：由平移的特征，平移前后的两个图形的形状与大小都没有发生变化，故A，B，C均成立，所以只有D错误．

答案：D 【例2－2】如图，△ABC沿BC的方向平移到△DEF的位置，(1)若∠B＝56°，∠F＝48°，则∠1＝__________，∠2＝__________. (2)若AB＝4 cm，AC＝5 cm，BC＝4.5 cm，EC＝3.5 cm，则平移的距离等于__________，DF＝__________，CF＝__________.

解析：(1)由于平移后得到的新图形与原图形的大小、形状完全相同，所以对应的角相等，对应的线段也相等．平移的距离就是对应点间的线段的长度，所以平移的距离是BE(或CF，AD，…)的长度．

答案：(1)56°

48°

(2)1 cm 5 cm 1 cm 确定平移的方向和距离只要确定一组对应点的方向和距离即可．

3．确定平移的方向、距离

图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离．这两个要素是图形平移的依据．

确定平移的方向、距离的方法如下：方向为前后对应点射线方向，距离为对应点之间的线段的长度．

确定平移方向和平移距离，必须抓住关键点及其对应点展开分析．

【例3】下图中的四个小三角形都是等边三角形，边长为2 cm，能通过平移△ABC得到其他三角形吗？若能，请画出平移的方向，并说出平移的距离．

分析：能通过平移△ABC得到的三角形有△AEF，△CDE，注意中间的三角形不能通过平移△ABC得到．平移的方向和距离可通过对应点来探究．

解：平移△ABC得到的三角形有△AEF，△CDE.其平移方向分别是：射线AF(或射线BA或射线CE)的方向，射线AE(或射线BC或射线CD)的方向；其平移的距离均为2 cm.

4.平移作图

(1)平移作图需要的条件：作出一个图形平移后的对应图形，需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离．

(2)平移作图的一般步骤：

①分析题目要求，找出平移的方向和平移的距离．

②分析所作的图形，确定构成图形的关键点．

③沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点．

④顺次连接所作出的各个关键点，并标上相应字母．

⑤写出结论(方格纸作图可以略写结论)．

【例4】如图所示，画出平行四边形ABCD向上平移1 cm后的图形．

分析：根据题目要求可知平移的方向为向上方向，平移的距离是1 cm，只要确定A，B，C，D四点的对应点就可以画出图形．

解：(1)过A点，向上画直线AM，并在AM上截取AE＝1 cm；

(2)分别过B，C，D作AM的平行线BN，CP，DQ，在BN，CP，DQ上分别截取BF＝CG＝DH＝1 cm；

(3)顺次连接EFGH，得到的四边形EFGH即为所求平行四边形．

5．平移性质的应用

平移是平面图形的一种基本运动方式，它在实际生活及今后的学习中都有着广泛的应用．

由于平移前后的两个图形之间存在着大量的等量关系，所以根据这些关系求值是平移性质应用的主要方式．

平移常与平行线有关，且平移可将一个角、一条线段、一个图形平移到另一个位置，使分散的条件集中到一个图形上，使问题获得解决，因而应用平移性质可以简单、明了地解决一些实际问题．

对于复杂图形或不完整、条件较分散的图形，通常通过平移图中的局部使之成为较规

则的图形(或将分散的条件集中起来)，从而为我们的动态思考问题寻求解题捷径．

(1)应用平移的性质一定要弄清对应关系，只有对应的部分才相等；

(2)确定平移的方向和距离只要确定一组对应点的方向和距离即可．

例如，在求图形的面积和周长时，常常利用平移的特征把不规则的图形变成规则图形，从而求解问题．

【例5－1】如图，多边形的相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为(

)．

A．21

B．26

C．37

D．42 解析：图1中只给出了一个底边的长和高，可以利用平移的知识来解决：把所有的短横线移动到最上方的那条横线上，再把所有的竖线移动到两条竖线上，这样可以重新拼成一个长方形(如图2)，可得多边形的周长为2×(16＋5)＝42.故选D．

答案：D 【例5－2】如图①，在长为a m，宽为b m的一块草坪上修了一条1 m宽的笔直小路，2则余下草坪的面积可表示为__________ m；如图②，现为了增加美感，把这条小路改为宽2恒为1 m的弯曲小路，则此时余下草坪的面积为__________ m. 解析：由图形可知，图①和图②的阴影部分经过平移可以组成一个长方形，如图③.则图①中的长为a，宽为(b－1)，所以面积为a(b－1)＝ab－a；图②中的长为a，宽为(b－1)，所以面积为a(b－1)＝ab－a.

答案：ab－a

ab－a