利用完全平方差公式进行因式分解教学设计思路

因式分解公式法二

（利用完全平方公式分解）

通川区安云乡中心学校

李雪

一、学情分析

学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学***方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。

学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。本节课的学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底。这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．

二、教学任务分析

学生在学***方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。

三、教学目标

1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．

2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。

3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。

四、教学过程

（一）复习与回顾

1.因式分解：

把一个多项式转化为几个整式的积的形式. 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？

1.提公因式法

2.平方差公式

a2-b2=(a+b)(a-b)

（二）

学习新知

活动内容：

活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如

的多项式称为完全平方式．

注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

用完全平方公式分解因式

你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？

具体图形见教材（略）

这个大正方形的面积可以怎么求？

（a+b）2 = a2+2ab+b2

将上面的等式倒过来看，能得到：

a2+2ab+b2=（a+b）2 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.观察这两个式子：a2+2ab+b2

a2－2ab+b2

（1）每个多项式有几项？三项

（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征? 这两项都是数或式的平方，并且符号相同

（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？

是第一项和第三项底数的积的±2倍

完全平方式:

a2±2ab+b2 完全平方式的特点：

1.必须是三项式（或可以看成三项的）；

2.有两个同号的数或式的平方；

3.中间有两底数之积的±2倍.

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解

两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

对照

a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：

1. x²+4x+4= (

)² +2·(

)·(

)+(

)² =(

)²

2.m²-6m+9=(

)² - 2· (

) ·(

)+(

)² =(

)²

3.a²+4ab+4b²=(

)²+2· (

) ·(

)+(

)²=(

下列各式是不是完全平方式？

)²

（1）x2－4y+4;

（2）1+4x²;

（3）4x2+4x-1;

（4）a2+ab+b2;

（5）a2+a+0.25. 分析：

（2）因为它只有两项；

（3）4x²与-1的符号不统一；

（4）因为ab不是a与b的积的2倍. 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，

根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．

例1分解因式：

（1）

x2+14x+49；

分析：(1)中，

49=7²,14x=2·x·7, 所以x2+14x+49 是一个完全平方式，即x2 + 14x +49=

(x)2+

2·x·7

+ (7)2. 解：

(1)x2+ 14x +49

= (x)2 + 2·x·7+ (7)2

= (x + 7)2

（2）

(m+n)2-6(m+n)+9 中将m+n看成一个整体，设m+n=a,则原式化为a2-6a+9 解：2）

(a+b)2-6(a+b)+9

=(a+b)2-2·(a+b) ·3+

3 2

=(a+b-3)2

例2把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2) -x2+4xy-4y2. 分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；

(2) 中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式. 概念学习

利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 针对训练

因式分解：

(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；

(2)(x2＋4)2－16x2. 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2；

(2)原式＝(x2＋4)2－(4x)2

＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x) ＝(x＋2)2(x－2)2

五、巩固练习

1.下列四个多项式中，能因式分解的是(

A．a2＋7

B．a2－6a＋9

C．x2＋3y

D．a2－4b

)

2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是(

) A．4xy(x－y)－x3

B．－x(x－2y)2

C．x(4xy－4y2－x2)

D．－x(－4xy＋4y2＋x2) 3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________ 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________

5.把下列多项式因式分解.

（1）a2－12a+36;

（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;

(3) y2+2y+1－x2;

六、课堂小结

a2±2ab+b2=(a±b)2

特点

（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.

七、课外作业布置

1、教材103页2题、3题