8.2 消元——二元一次方程组的解法优质课教案内容

8.2.1二元一次方程组的解法（1）

教 材

义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》七年级下册

从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动地进行学习。以引言中的问题的进一步探究为切入口，通过尝试探究、合作交流等方式获得对代入消元法的理解。进一步感受数学源于生活，更好地理解消元的意义，体现“人人学有价值数学”的新课程理念。整个数学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。

解二元一次方程组是学生在学过一元一次方程的基础上学习的。通过上节课的学习，学生已经了解二元一次方程组的有关概念，积累了利用表格尝试探寻二元一次方程组解的活动经验，知道尝试法求二元一次方程组解过于麻烦，探寻更为简洁的解法已经成为学生进行问题解决的内在诉求，在此基础上启发学生用代入消元法解二元一次方程组，让学生初步体会化归思想，是自然而然了，此前，学生只有解一元方程的经验，惯于对一个等式进行变形，而解二元一次方程组涉及到通过等量代换实现二元转化为一元，在思维形式和方法运用上都是一次质性跨越，对于惯于定势经验型思维的七年级学生可能存在一定困难，教学时应充分借助一元一次方程与二元一次方程组解法通性，引导学生加以理解掌握。

设计理念

学情分析

代入消元法是在学生已经全程学习一元一次方程及其解法、了解了二元一次方程组相关概念的基础上展开的，重点体会消元化归思想，掌握代入法解二元一次方程组的一般步骤，能够针对具体方程组中方程的特征确定适当的消元对象加以消元求解。代入消元法的本质是消元-----化二元一次方程组为已经学过的一元一次方程。但代入只是消元的一种具体技能，教学中应注意加以体会。当然通过一定量的训练促进知识背景学生有关技能的获得还是十分重要的，但研究表明一形式化的技能训练难以激发学分析

生的学习兴趣，为此教科书设计学习代入消元法，力图在后续的各节中将解方程的技能训练与实际问题的解决融为一体。在实际问题的解决过程中无形提高学生的解题技能。代入消元法是解二元甚至多元方程的最基本得方法，它将为后面学习解二元一次方程组做好基础与铺垫、也为后面学习一次函数与其有较强的联系，是初中数学的重要内容。

知识与技能

掌握代入消元法的一般步骤，会用代入消元法解简单的二元一次方程组。能够结合框图理解代入消元法的解法步骤。

经历探索运用代入法将二元一次方程组转化为一元一次方程的一般过程，进而探求二元一次方程组的解，体会消元方法和化归思想在解二元一次方程组中的应用，发展学生动手操作、观察发现、分析归纳等数学活动能力和独立获取知识的方法并解决问题的能力。

通过“代入消元”方法探索体会二元一次方程组的“消元”思想，进一步感受化化归思想在数学学习中的广泛运用，发展数学应用意识和数学表达能力，享受学习数学的兴趣、提高学习数学的信心；通过梯次递进的变式训练，发展分析解决问题的能力，进一步培养合作交流、自主探索的良好习惯。

学

习

目

标

过程与方法

情感态度与价值观

教学重点

会用代入消元法解二元一次方程组；了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现教学研究中“化未知为已知”的化归思想。

教学难点

教学方法

学法指导

教学资源

确定合适的消元对象，加以消元求解

“尝试指导，效果回授”教学法，练习法

发现法、练习法、合作学习。

借助PPT软件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。

1、评价量规：随堂提问、练习反馈、作业反馈

2、评价策略：坚持“及时评价与激励评价相结合，定量化评价与定性化评价相统一”的原则，最大限度地做到面向全体学生，充分关注学生的个性差异，将学生自评、生生互评和教师概括引领、激励测进式点评有机结合，既有即兴评价，又有概要性评价；既有学生的自评，又有师生、生生之间的互评，力求在评价中帮助学生认识自我、建立自信，使其逐步养成独立思考、自主探索、合作交流的学习习惯。

活动流程

活动内容及目的

以篮球比赛积分计算为背景创设问题情境，在揭示章课题的同时帮助学生认识数学与生活的密切关系，激发其求知欲。

上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与奚比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念。

通过范例得出结论：二元一次方程的解是成对出现的；二元一次方程的解有无数多个，这与一元一次方程有显著的区别。使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念．。

将知识归类细化，纳入已有的知识体系。

分类推荐、分层要求，将探究兴趣由课内延伸到课外；及时捕捉学生学习状况，适时进行有效诊断评价、反馈补救、长善救失。

教学评价

活动一

创设情境，导入新课

教

学

流

程

活动二

诱导尝试，探究新知

活动三

范例分析，巩固新知

活动四

全课小结，内化新知

活动五

推荐作业，延展新知

教 学 程 序

问题与情境

一、创设情境，导入新课 1展示笛卡尔精典语句：一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解!”

——法国数学家 笛卡儿

师生互动

【教师活动】1.出示笛卡尔精典语句：笛卡尔这段话虽然夸大了方程的作用，但方程作为数学的一个重要分支，无论对现实生活还是数学、物理等学科知识都有着广泛的应用。

2、出示问题2.学生口答。教师评价，上节课找二元一次方程组的解的方法显然具有局限性，今天媒体使用与教学评价

【媒体使用】1.出示问题1、2及答案。2.出示问题3并出示问题3的列方程过程。

【设计意图】问题1、2旨在温故知新，密切新旧知识之间的联系，问题3以学生已有的知识和生活经验为背景编

2：二元一次方程组的定义是什么？什么叫二元一次方程组的解呢？我们上节课是如何找到二元一次程组的解的呢？

3：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少?（要求：同桌分别用列方程和方程组的方法解决）

二、诱导尝试，探究新知

问题1. 仔细观察比较方程组我们将来学习二元一次方程组的解法——出示课题。

3、出示问题3，引导学生列方程。设胜的场数是x，负的场数是y，可列方程组：

x＋y＝10 2x＋y＝16 设这个队胜了x场，依题意，得

2x+(10-x)=16 以上方程组和方程有何关系？

拟，在密切数学与生活之间的联系，体现“人人学有价值的数学”的课程理念的同时，设立悬念，引发认知冲突（怎样设两个未知数列方程解决问题），水到渠成地引入课题

【教师活动】

1、引导学生思考：可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋yxy10和方程＝10说明y＝10－x，将第2个方2xy16程2x＋y＝16的y换为10－x，这个方程就化为一元一次方程2x(10x)16在结构上有2x+(10-x)=16。这就是说，二元什么关系？你从中发现了什么？

一次方程组中的两个未知数，可怎样解方程组

以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程。这xy10？ 样，我们就可以先求出一个未知2xy16数，然后再求出另一未知数.这种问题2：请结合你的发现尝试写出将未知数的个数由多化少、逐一解决过程？谁愿意在黑板上展示？

解决的思想，叫做消元思想. 2、出示问题3，在学生回答的基

础上板书：代入消元法一般步骤问题3.通过以上问题解决，你认为（化——将方程组中的一个方程解二元一次方程组的关键是什么？适当变形为用含一个未知数的代其一般步骤又是什么？你能用自己数式表示另一个未知数的形式；的语言归纳总结吗？

代——将变形后的代数式代入另问题4.

1.(口答)把下列方程改写一个方程消去另一个未知数，得成用x含的式子表示y的形式

到关于一个未知数的一元一次方(1)2x-y=3 (2)3x+y-1=0 程；解——解一元一次方程，求2.用代入消元法解下列方程组

出一个未知数的值；二代——将(1)所求未知数的值代入变形方程求出另一个未知数的值；写——写

出原方程组的解）

3、出示问题4,提两名学生板演，问题5.（教科书例2改编）赵湾初加强巡视，重点关注学困生，提中在创卫工作中，发动街道居民对醒提前完成的学生思考问题5或卫生死角进行全面清理消毒，根据帮助检查其他学生完成情况。

市场调查，某种消毒液的大瓶装出示问题5，一名学生读题后，抛(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的出“思考”，由学生独立尝试解决，需求数量比（按瓶计算）为2：5.教师巡视，讲解。

【媒体使用】出示课件，展示二元一次方程组与一元一次方程的关系。

【设计意图】旨在使学生初步感知二元一次方程组和一元一次方程有的关系。通过教师的板演，学生初步感知消元思想，了解消元的基本方法。

若疾控中心每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装各多少瓶？

思考：1）题中有哪些已知量和未知量？

2）表示已知量与未知量等量关系的语句是什么？如果设这些消毒液应该分装x大瓶和y小瓶，你能迅速列出方程组求解吗？

3、引导学生再次归纳：列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系，列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解检、答．

4、将学生按照座次分为A、B组，分别完成99页3、4后交换评价，选两名代表板演。

【学生活动】1.独立解决问题1、2；

2、讨论交流方程的变形. 3、认真观察教师的解题过程，感知消元思想。

4、讨论归纳解决问题5 【媒体使用】1.出示问题1及答案。2.展示解方程组的过程。介绍代入法及代入法思想。

【设计意图】问题1旨在使学生熟练掌握把方程组转化为一元一次方程，为代入消元奠定基础。问题2旨在是学生熟练掌握代入消元的基本步骤与方法。掌握代入消元的过程。

三、变式训练，巩固新知

题组一：

1、如果∣y + 3x - 2∣+∣5x + 2y -2∣= 0，求 x 、y 的值

2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元一次方程，求m 、n 的值. 题组二：

【教师活动】1.出示题组一，引导学生口答，相机呈现答案

2.出示题组二，引导分析

归纳：上面的方程组解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一

的解， 若

是方程组

次方程组的解.这种方法叫做代

入消元法，简称代入法. 求

和

的值

已知方程组

与

有相同的解，求a，b

的值。

四、全课小结，内化新知

问题1、什么是消元的思想？什么是代入消元法？

问题2、用代入消元法解二元一次方程组。

教师概括：本节重点学习一种方法——代入法解二元一次方程组；抓住一个关键：确定先消未知数系数特征（系数为±1或较小）；掌握五个步骤：定、变、代、解、写；注意一个问题：方程组中有一个方程是用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，直接代入消元求解即可。

【教师活动】1、组织学生自主小结；2、在学生畅所欲言话收获的基础上，进行概括小结：本节课主要学习了一种思想、一种解题方法，要注意的一个问题

【学生活动】1、谈收获2、针对同伴的表现发表见解

【媒体运用】结合学生回答，展示本节课知识结构图

【设计意图】了解学生对本节知识的掌握情况，以便及时查补缺漏，反馈补救，帮助学生将尝试学习的结果及时纳入已有的认知结构。

五、

推荐作业，延展新知

问题1：课本97面1、2题。

问题2：选做：

（1） 4x－y =5 2x＋4y=24 按照要求自主完成作业。

1.5x0.5y1（2）

2x3y5【设计意图】进一步了解学生对知识的掌握情况，以便进行跟进式反馈矫正，体现分层要求、分类指导、异步达标、全员合格。作业分为必做题和选做题两个层次推荐（其中必做题要求全体学生独立完成。选做题专为学有余力的数学爱好者提供）。

【设计意图】突出重点，引导学生思维的方向，暗示教学的思路，帮助使学生对本节知识有一个提纲挈领的认识。

课 题

板

书

设

计

学生演练

思想：二元一元

方法：代入法

一般步骤：变、代、解、写

消元

代入

屏 幕