习题1.1优秀公开课教案

章末检测

一、选择题

1．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

答案

B 解析

该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的投影距左右两边距离相等，因此选B. 2．下列说法中正确的是(

) A．有两个面平行，其余各面都是三角形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台

C．有一个面是多边形，其余各面都是五边形的几何体叫棱锥

D．棱台各侧棱的延长线交于一点

答案

D 解析

A不正确，棱柱的各个侧面为四边形；B不正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到的，其侧棱的延长线必交于一点，故D正确．C不正确，不符合棱锥的定义．

3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是(

)

A．(1)(2)

B．(2)(3) C．(3)(4)

D．(1)(4) 答案

D 解析

正方体的三视图都相同都是正方形，球的三视图都相同都为圆面．

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(

)

答案

D 解析

先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原为空间几何体．由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D. 5. 如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是(

)

答案

D 解析

四边形D1MBN在上下底面的正投影为A；在前后面上的正投影为B；在左右面上的正投影为C；故答案为D. 6．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(

) 32π4πA.

B．4π

C．2π

D.

33

答案

D 解析

正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，

所以球的半径r＝

222＋2＝1，

224π4π球的体积V＝r3＝.故选D. 337. 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为(

)

A．6

B．32 C．62

D．12 答案

D 解析

由斜二测画法规则可知，△OAB为直角三角形，且两直角边长分别为4和6，故面积为12. 8．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(

)

A．21＋3

B．18＋3 C．21

D．18 答案

A 解析

由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．

13因此该几何体的表面积为6×(4－)＋2××(2)2＝21＋3.故选A. 249．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(

)

A．108 cm3

B．100 cm3

C．92 cm3

D．84 cm3

答案

B 解析

此几何体为一个长方体ABCDA1B1C1D1被截去了一个三棱锥ADEF，如图所示，

其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的11×4×3×4＝8(cm3)，所以所三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为×32求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．

10．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(

) 2322A.

B.

C.

D.

6632答案

A 解析

利用三棱锥的体积变换求解．由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．

在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，

33S△ABC＝×AB2＝，

44632＝，

331362∴VS－ABC＝2VOABC＝2×××＝. 3436高OD＝

12－二、填空题

11．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面积为________cm2. 答案

16π

1解析

∵圆柱的底面半径为r＝×4＝2(cm)．

2∴S侧＝2π×2×4＝16π(cm2)．

12．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，S19V1且＝，则的值是________．

S24V23答案

2解析

设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，

S19πr29r131由＝，得2＝，则＝. S24πr24r22由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，

V1πr21h1r13即r1h1＝r2h2，所以＝2＝＝. V2πr2h2r2213．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A．12

B．18 C．24

D．30 答案

C 解析

由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，1故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V棱柱ABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝×4×3×52111＝30，V棱锥P－A1B1C1＝S△A1B1C1·PB1＝××4×3×3＝6.故几何体ABC－PA1C1的体332积为30－6＝24.故选C.

3214．已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球2的表面积为________．

答案

24π

13232解析

V四棱锥OABCD＝×3×3h＝，得h＝，

322AC2186∴OA2＝h2＋2＝4＋4＝6. ∴S球＝4πOA2＝24π.

三、解答题

15．如图所示，四棱锥VABCD的底面为边长等于2 cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4 cm，求这个正四棱锥的体积．

解

如图，连接AC、BD相交于点O，连接VO，

∵AB＝BC＝2 cm，

在正方形ABCD中，

求得CO＝2 cm，

又在直角三角形VOC中，

求得VO＝14 cm，

114∴VVABCD＝SABCD·VO＝×4×14＝14(cm3)．

3334故这个正四棱锥的体积为14 cm3. 316．如图，正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，

C′D，得到一个三棱锥．求：

(1)三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值；

(2)三棱锥A′BC′D的体积．

解

(1)∵ABCDA′B′C′D′是正方体，

∴六个面都是正方形，

∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝2a，

3∴S三棱锥A′－BC′D＝4××(2a)2＝23a2，S正方体＝6a2，

4S三棱锥A′－BC′D3∴＝. 3S正方体(2)显然，三棱锥A′ABD、C′BCD、DA′D′C′、BA′B′C′是完全一样的，

∴V三棱锥A′BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ABD

111＝a3－4××a2×a＝a3. 32317．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．

(1)求该几何体的全面积；

(2)求该几何体的外接球的体积．

解

(1)由题意可知，该几何体是长方体，

底面是正方形，边长是4，高是2，

因此该几何体的全面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)，即几何体的全面积是64 cm2. (2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d，球的半径是r，

d＝16＋16＋4＝36＝6(cm)，

所以球的半径为r＝3(cm)．

44因此球的体积V＝πr3＝×27π＝36π(cm3)，

33所以外接球的体积是36π cm3. 18. 如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．

试求：(1)AD的长；

(2)容器的容积．

解

(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，

则OD＝72－x，由题意得

60·π2πR＝180×72R＝12，∴.即AD应取36 cm. x＝3672－x＝3Rππ(2)∵2πr＝·OD＝·36，∴r＝6 cm，

33

圆台的高h＝x2－R－r2＝362－12－62＝635. 11∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm3)．

33即容器的容积为50435πcm3.