1.2.1 中心投影与平行投影课堂实录【2】

教学目标

(1)掌握画三视图的基本技能

(2)丰富学生的空间想象力

主要通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视图的作用。

(1)提高学生空间想象力

(2)体会三视图的作用

2教材分析

在上一节认识空间几何体结构特征的基础上,本节来学习空间几何体的表示形式,以进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是:画出空间几何体的三视图.

比较准确地画出几何图形,是学好立体几何的一个前提.因此,本节内容是立体几何的基础之一,教学中应当给以充分的重视.

画三视图是立体几何中的基本技能,同时,通过三视图的学习,可以丰富学生的空间想象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”,自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”,自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构,这种图称之为“三视图”.

教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发,要求学生自己画出球、长方体的三视图;接着,通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务,这是提高学生空间想象力的需要,应当作为教学的一个重点.

三视图的教学,主要应当通过学生自己的亲身实践,动手作图来完成.因此,教科书主要通过提出问题,引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中,教师可以通过提出问题,让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法,体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体,在作三视图之前应当提醒学生细心观察,认识了它的基本结构特征后,再动手作图.教材中的“探究”可以作为作业,让学生在课外完成后,再把自己的作品带到课堂上来展示交流.

值得注意的问题是三视图的教学,主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外,教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片,让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形. 3重点难点

教学重点:画出简单组合体的三视图,给出三视图和直观图,还原或想象出原实际图的结构特征.

教学难点:识别三视图所表示的几何体. 4教学过程

4.1 第一学时

4.1.1教学活动

活动1【导入】引入

①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断,请同学们考虑它们是怎样得到的? ②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的? 活动2【活动】新课

③请同学们观察图2的投影过程,它们的投影过程有什么不同? ④图2(2)(3)都是平行投影,它们有什么区别? ⑤观察图3,与投影面平行的平面图形,分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小有什么区别?

活动3【活动】活动

活动:①教师介绍中国的民间艺术皮影戏,学生观察图片. ②从投影的形成过程来定义. ③从投影方向上来区别这三种投影. ④根据投影线与投影面是否垂直来区别. ⑤观察图3并归纳总结它们各自的特点. 活动4【活动】讨论结果

讨论结果:①这种现象我们把它称为是投影. ②由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中,我们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影幕. ③图2(1)的投影线交于一点,我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影;图2(2)和(3)的投影线平行,我们把在一束平行光线照射下形成投影称为平行投影. ④图2(2)中,投影线正对着投影面,这种平行投影称为正投影;图2(3)中,投影线不是正对着投影面,这种平行投影称为斜投影. ⑤在平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图形;在中心投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形.以后我们用正投影的方法来画出空间几何体的三视图和直观图. 活动5【讲授】提出问题

提出问题

①在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图,请你回忆三视图包含哪些部分?

②正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的?

③一般地,怎样排列三视图?

④正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图,它们都是平面图形.观察长方体的三视图,你能得出同一个几何体的正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗? 活动6【活动】讨论结果

讨论结果:①三视图包含正视图、侧视图和俯视图. ②光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图叫该几何体的正视图(又称主视图);光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图叫该几何体的侧视图(又称左视图);光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图叫该几何体的俯视图. ③三视图的位置关系:一般地,侧视图在正视图的右边;俯视图在正视图的下边.如图5所示. 活动7【讲授】新课讲授

投影规律: (1)正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度. (2)一个几何体的正视图和侧视图高度一样,正视图和俯视图长度一样,侧视图和俯视图宽度一样,即正、俯视图——长对正;主、侧视图——高平齐;俯、侧视图——宽相等.

画组合体的三视图时要注意的问题: (1)要确定好主视、侧视、俯视的方向,同一物体三视的方向不同,所画的三视图可能不同. (2)判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的,注意它们的生成方式,特别是它们的交线位置. (3)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线

都用实线画出,不可见轮廓线,用虚线画出. (4)要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征,即正、俯视图长对正;正、侧视图高平齐;俯、侧视图宽相等,前后对应.

由三视图还原为实物图时要注意的问题:

我们由实物图可以画出它的三视图,实际生产中,工人要根据三视图加工零件,需要由三视图还原成实物图,这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状,主要通过主、俯、左视图的轮廓线(或补充后的轮廓线)还原成常见的几何体,还原实物图时,要先从三视图中初步判断简单组合体的组成,然后利用轮廓线(特别要注意虚线)逐步作出实物图. 活动8【讲授】例题

例1

画出圆柱和圆锥的三视图. 活动:学生回顾正投影和三视图的画法,教师引导学生自己完成. 解:图6(1)是圆柱的三视图,图6(2)是圆锥的三视图. 点评:本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力.有关三视图的题目往往依赖于丰富的空间想象能力.要做到边想着几何体的实物图边画着三视图,做到想图(几何体的实物图)和画图(三视图)相结合. 活动9【练习】变式

变式训练

说出下列图7中两个三视图分别表示的几何体. (1)

(2) 图7 答案:图7(1)是正六棱锥;图7(2)是两个相同的圆台组成的组合体. 活动10【讲授】例题

例2

试画出图8所示的矿泉水瓶的三视图. 活动:引导学生认识这种容器的结构特征.矿泉水瓶是我们熟悉的一种容器,这种容器是简单的组合体,其主要结构特征是从上往下分别是圆柱、圆台和圆柱. 图8

图9 解:三视图如图9所示. 点评:本题主要考查简单组合体的三视图.对于简单空间几何体的组合体,一定要认真观察,先认识它的基本结构,然后再画它的三视图. 活动11【练习】变式

变式训练

画出图10所示的几何体的三视图. 图10

图11 答案:三视图如图11所示. 活动12【练习】知能训练

知能训练

1.下列各项不属于三视图的是(

) A.正视图

B.侧视图

C.后视图

D.俯视图

分析:根据三视图的规定,后视图不属于三视图. 答案:C

2.两条相交直线的平行投影是(

) A.两条相交直线

B.一条直线

C.两条平行直线

D.两条相交直线或一条直线

图18 分析:借助于长方体模型来判断,如图18所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,一束平行光线从正上方向下照射.则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一条直线CD,相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD. 答案:D

3.甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边,桌上一张纸上写着数字“9”,如图19所示.甲说他看到的是“6”,乙说他看到的是“

6”,丙说他看到的是“

9”,丁说他看到的是“9”,则下列说法正确的是(

) 图19 A.甲在丁的对面,乙在甲的左边,丙在丁的右边

B.丙在乙的对面,丙的左边是甲,右边是乙

C.甲在乙的对面,甲的右边是丙,左边是丁

D.甲在丁的对面,乙在甲的右边,丙在丁的右边

分析:由甲、乙、丙、丁四人的叙述,可以知道这四人的位置如图20所示,由此可得甲在丁的对面,乙在甲的右边,丙在丁的右边. 图20 答案:D

4.(2007广东汕头模拟,文3)如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个圆及其圆心,那么这个几何体为(

) A.棱锥

B.棱柱

C.圆锥

D.圆柱

分析:由于俯视图是一个圆及其圆心,则该几何体是旋转体,又因正视图与侧视图均为全等的等边三角形,则该几何体是圆锥. 答案:C

5.(2007山东青岛高三期末统考,文5)某几何体的三视图如图21所示,那么这个几何体是(

) 图21 A.三棱锥

B.四棱锥

C.四棱台

D.三棱台

分析:由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥. 答案:B

6.(2007山东济宁期末统考,文5)用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图22所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是(

) 图22 A.8

B.7

C.6

D.5 分析:由正视图和侧视图可知,该几何体有两层小正方体拼接成,由俯视图,可知最下层有5个小正方体,由侧视图可知上层仅有一个正方体,则共有6个小正方体. 答案:C

7.画出图23所示正四棱锥的三视图. 图23 分析:正四棱锥的正视图与侧视图均为等腰三角形,俯视图为正方形,对角线体现正四棱锥的

四条侧棱. 答案:正四棱锥的三视图如图24. 图24 活动13【练习】拓展

拓展提升

问题:用数个小正方体组成一个几何体,使它的正视图和俯视图如图25所示,俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数. (1)你能确定哪些字母表示的数? (2)该几何体可能有多少种不同的形状? 图25 分析:解决本题的关键在于观察正视图、俯视图,利用三视图规则中的“在三视图中,每个视图都反映物体两个方向的尺寸.正视图反映物体的上下和左右尺寸,俯视图反映物体的前后和左右尺寸,侧视图反映物体的前后和上下尺寸”.又“正视图与俯视图长对正,正视图与侧视图高平齐,俯视图与侧视图宽相等”,所以,我们可以得到a=3,b=1,c=1,d,e,f中的最大值为2. 解:(1)面对数个小立方体组成的几何体,根据正视图与俯视图的观察我们可以得出下列结论: ①a=3,b=1,c=1; ②d,e,f中的最大值为2. 所以上述字母中我们可以确定的是a=3,b=1,c=1. (2)当d,e,f中有一个是2时,有3种不同的形状; 当d,e,f有两个是2时,有3种不同的形状; 当d,e,f都是2时,有一种形状. 所以该几何体可能有7种不同的形状. 活动14【讲授】课堂小结

课堂小结

本节课学习了: 1.中心投影和平行投影. 2.简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律. 3.由三视图判断原几何体的结构特征. 活动15【作业】作业

作业

习题1.2

A组

第1、2题.