3.4 生活中的优化问题举例新颖的课程导入教案

生活中的优化问题举例

应城市第二高级中学

姜珊

一、教学目标

1．知识和技能目标

（1）使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；

（2）提高将实际问题转化为数学问题的能力．

2．过程和方法目标

（1）培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力；

3．情感态度和价值观目标

(1)进一步培养学生应用数学的意识。

二、教学重点.难点

教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤

教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值

三、学情分析

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

四、教学方法

师生互动探究式教学

五、教学过程

第一部分：

问题一：历史上有哪些利用数学知识产生的优化故事？

打印纸的由来，让学生知道优化在我们生活中无处不在。体会优化的重要性，从中领悟数学的魅力。

问题二：优化问题的定义引入。

列举商业名人马云、王健林、马化腾，引导学生思考利润最大，用料最省，效率最高的意义，树立人生目标，进一步理解优化问题的定义

第二部分：

例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的2竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

方法一：导数法

128dm,此时四周空白面积为

x1285122)1282x8,x0。

S(x)(x4)(xx

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为

求导数，得

512。

x2512'令S(x)220，解得x16(x16舍去）。

x1281288。

于是宽为x16S'(x)2当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

方法二：重要不等式

从例1中总结解决优化问题的方法：

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

4r30.8r2

yfr0.23r320.8r3r,0

6令fr0.8(r22r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm

时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm

时，利润最小．

练习：

在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

解法一：设箱底边长为xcm，则箱高h260xcm，得箱子容积

260-2x60x2x3V(x)xh (0x60)．

2V(x)60x3x(0x60)

2260x60-2x60-2x60-2xx603x2令 V(x)60x＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 2并求得

V(40)=16 000 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm

解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

3

V(x)(602x)2x(0x30)．（后面同解法一，略）

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．

60x2x3事实上，可导函数V(x)xh、V(x)(602x)2x在各自的定义域中22都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值[来源:学科网]

六、总结1：

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

总结2：

1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域；

2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值. 七、专家点评：

本节课从生活中的问题出发，展示数学在生活中应用。体现了理论—实践—理论的数学思想。本节课思路清晰，过程合理，教学重难点突出，在整个过程中小组合作探究，体现了高效的思想。

点评人：应城市第二高级中学高级教师 赵松平