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关键词：1.1.2 四种命题优秀教学设计内容

正文

[学习目标]

1.了解随机误差、残差、残差图的概念.2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果.3.掌握建立线性回归模型的步骤．

知识点一

线性回归方程

1．回归分析

(1)函数关系：函数关系是一种确定性的关系．例如正方形的周长C＝4a，周长C与边长a之间就是一种确定性关系，对于自变量(边长)的每一个确定的值，都有唯一确定的周长与之相对应．

(2)相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系．相关关系是一种非确定性关系．

回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法叫作回归分析．

2．线性回归方程

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线y＝bx＋a的斜率和截^距的最小二乘估计公式分别为b＝i＝1

xi－xyi－yxiyi－nx

yi＝1nn＝i＝1

xi－x2ni＝1x2i－nxn^^，a＝y－bx，其中(x，y)2称为样本点的中心．

思考1

确定线性回归方程，只需得出哪两个量？

答案

确定线性回归方程，只需确定a，b两个量即可．

思考2

回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？

答案

不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等．

知识点二

残差的概念

对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，^^^^^其估计值为ei＝yi－yi＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，ei称为相应于点(xi，yi)的残差．

知识点三

刻画回归效果的方式

1．残差图法

作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．

2．残差平方和法

n^残差平方和

(yi－yi)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好．

i＝13．利用R2刻画回归效果

i＝1

yi－yi2；R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R2越接近于1，表示回归的效果n^R＝1－2i＝1

yi－y2n越好．

题型一

求线性回归方程

例1

在一段时间内，某种商品的价格x(万元)和需求量y(t价格x 需求量y (1)画出散点图；

(2)求出y对x的线性回归方程；

(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．

解

(1)散点图如图所示．

1.4

1.6

1.8

)之间的一组数据为：

2.2 3

^^(2)采用列表的方法计算a与b. 序号

1.4

1.6

x2i

1.96

2.56

xiyi

16.8 16

∑

1x＝×9＝1.8，

51y＝×37＝7.4，

51.8

2.2

3.24

4.84

16.6

12.6 10 6.6 62 ^b＝i＝1xiyi－5x

yxi2－5x52562－5×1.8×7.4＝＝－11.5，

16.6－5×1.82i＝1^^a＝y－bx＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，

^^^所以y对x的线性回归方程为y＝a＋bx＝28.1－11.5x. ^(3)当x＝1.9时，y＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)，

所以价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t. 反思与感悟

求线性回归方程可分如计算x，y下几步来完成：第一步，列表表示xi，yi，x2i，xiyi；第二步，n^^2，xi，xiyi；第三步，代入公式计算a，b的值；第四步，写出线性回归方程．

i＝1i＝1n跟踪训练1

某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

x y 6

12 6 (1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；

^^^(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

解

(1)如图：

n(2)∑xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，

＝i1

x＝y＝n6＋8＋10＋12＝9，

42＋3＋5＋6＝4，

4i122222∑x＝6＋8＋10＋12＝344，

i＝^158－4×9×414b＝＝＝0.7，

20344－4×92^^a＝y－bx＝4－0.7×9＝－2.3，

^故线性回归方程为y＝0.7x－2.3. ^(3)由(2)中线性回归方程当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4. 题型二

线性回归分析

例2

为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：

x y 5

7.25

8.12

8.95

9.90

10.9

30 11.8 (1)作出散点图并求线性回归方程；

(2)求出R2;

(3)进行残差分析．

解

(1)散点图如图

1x＝(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，

61y＝(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，

662xi＝2 275，xiyi＝1 076.2 i＝1i＝16^^计算得，b≈0.183，a≈6.285，

^所求线性回归方程为y＝0.183x＋6.285. (2)列表如下：

^yi－yi

0.05

0.005

－0.08

－0.045

0.04

0.025

yi－y

6－2.24

－1.37

－0.54

0.41

1.41

2.31 6^2所以

(yi－yi)≈0.013 18，

(yi－y)2＝14.678 4. i＝1i＝10.013 18所以，R2＝1－≈0.999 1，

14.678 4回归模型的拟合效果较好．

(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．

反思与感悟

在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否^^^可以用线性回归模型来拟合数据．然后，通过残差e1，e2，…，en来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．若残差点比较均匀地分布在水平带状区域内，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．

跟踪训练2

已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：

x y 14

22 3[来源学科网ZXXK]

求y对x的线性回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．

1解

x＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，

51y＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，

522222x2i＝14＋16＋18＋20＋22＝1 660，

5i＝1i＝122222y2i＝12＋10＋7＋5＋3＝327，

5i＝1xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，

55^所以b＝i＝1xiyi－5x

yxi2－5x52620－5×18×7.4＝＝－1.15，

1 660－5×182i＝1^a＝7.4＋1.15×18＝28.1，

^所以所求线性回归方程是y＝－1.15x＋28.1. 列出残差表：

^yi－yi

yi－y

^所以

(yi－yi)2＝0.3，

i＝150

4.6

0.3

2.6

－0.4

－0.1

－2.4

0.2 －4.4 i＝1

(yi－y)2＝53.2，

55i＝1

yi－yi2≈0.994，

^R＝1－2i＝1

yi－y25所以回归模型的拟合效果很好．

题型三

非线性回归分析

例3

下表为收集到的一组数据：

x y 21

115

35 325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；

(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；

(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．

解

(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝

的周围，其中c1，c2为待定的参数．

c1ec2x

(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为

x z 21

1.946

2.398

科*网Z*X*X*K][来源学*25

3.045

3.178

4.190

4.745

35 5.784

^求得线性回归方程为z＝0.272x－3.849，

^－∴y＝e0.272x3.849. 残差

^yi

^ei

6.443

0.557

11.101

－0.101

×40－3.84921

19.125

1.875

32.950

－8.950

56.770

9.23

115

128.381

－13.381

325 290.325 34.675 (3)当x＝40时，y＝e0.272≈1 131. 反思与感悟

解决非线性回归问题的方法及步骤

(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；

(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；

(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题；

(4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果；

(5)写出非线性回归方程．

跟踪训练3

为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：

天数x 繁殖个数y 求y对x的回归方程．

解

作出散点图如图(1)所示．

6 190

由散点图看出样本点分布在一条指令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a. x z 1

1.79

2.48

3.22

3.89

4.55

6 5.25 数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c. 相应的散点图如图(2)所示．从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由表中数据得到线性回归方程为z＝0.69x＋1.112.因此细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为y＝e0.69x＋1.112.

忽视线性相关性的分析致误

例4

在一次抽样调查中测得变量x与y的一组样本数据如下表：

x y 试建立y与x之间的回归方程．

错解

由已知条件制成下表：

i 1

∑

所以x＝1.55，y＝7.2，

0.25

0.5

7.75

xiyi

x2i

0.062 5 0.25 1 4 16 21.312 5 0.25

0.5

4 1 ^所以b＝i＝1xiyi－5xyxi2－5x52523－5×1.55×7.2＝≈－3.53，

21.312 5－5×1.552i＝1^^a＝y－b

x≈7.2＋3.53×1.55≈12.67. ^故所求的y与x之间的回归方程为y＝－3.53x＋12.67. 错因分析

本题直接取已知数据求线性回归方程，没有画出散点图或求相关系数r进行相关性检验，而本题的两个变量恰好不具有线性相关关系．根据散点图可以发现样本点分布在某一条反比例函数1曲线的附近，易知y与呈线性相关关系．

x正解

根据收集的数据作散点图(如图(1)所示)．由图可知样本点分布在某一条反比例函数曲线的附1近，令t＝，则原数据变为：

图(1) t y 4

0.5

2[来源学科网]0.25 1

由散点图(如图(2)所示)可以看出y与t呈近似的线性相关关系．

图(2) 列表如下：

i 1

∑

所以t＝1.55，y＝7.2. ti

0.5

0.25

7.75

tiyi

0.25

94.25

t2i

16 4 1 0.25 0.062 5 21.312 5 ^所以b＝i＝1tiyi－5tyt2i－5t52594.25－5×1.55×7.2＝≈4.134 4，

21.312 5－5×1.552i＝1^^a＝y－b

t≈7.2－4.134 4×1.55≈0.791 7. ^故y与t之间的回归方程为y＝4.134 4t＋0.791 7，

^4.134 4所以y与x之间的回归方程是y＝＋0.791 7. x点评

在解决回归分析的问题时，首先要对两个变量间的相关性进行分析，一要看它们是否相关，二要看它们是否是线性相关，如果它们不具有相关关系或不具有线性相关关系，即使求出线性回归方程，也没有任何意义．

1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是(

) A．角度和它的余弦值

B．正方形的边长和面积

C．正n边形的边数和内角度数和

D．人的年龄和身高

答案

D 解析

函数关系就是一种变量之间的确定性的关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高．故选D. ^2．设一个线性回归方程为y＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时(

) ^A.y平均增加1.5个单位

^B.y平均增加2个单位

^C.y平均减少1.5个单位

^D.y平均减少2个单位

答案

C ^解析

由线性回归方程y＝2－1.5x中x的系数为－1.5，知C项正确．

3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(

) ^A.y＝0.4x＋2.3

^C.y＝－2x＋9.答案

A 解析

因为变量x与y正相关，则在线性回归方程中，x的系数应大于0，排除C，D.将x＝3，y＝3.5分别代入A，B中的方程，只有A满足．故选A. 4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：

x y 2

8 80 5

^B.y＝2x－2.4 ^D.y＝－0.3x＋4.4 ^^根据上表，利用最小二乘法得它们的线性回归方程为y＝10.5x＋a，据此模型来预测当x＝20时，y的估计值为(

) A．210

B．210.5

C．211.5

D．212.5 答案

C ^^^^解析

由已知得x＝5，y＝54，则(5,54)满足线性回归方程y＝10.5x＋a，解得a＝1.5，因此y＝10.5x^＋1.5，当x＝20时y＝10.5×20＋1.5＝211.5，故选C. 5．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表：

温度x 溶解度y 0

66.7

76.0

85.0

112.3

70 128.0 由此得到回归直线的斜率是________．

答案

0.880 9 11解析

x＝×(0＋10＋20＋50＋70)＝30，y＝×(66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.0)＝93.6，由公55^式b＝i＝1

xi－xyi－y^可得b≈0.880 9. i＝15

xi－x25

回归分析的基本思路

(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；

(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；

^^^(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y＝bx＋a)；

(4)按一定规则估计回归方程中的参数；

(5)提出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等．

一、选择题

1．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i^＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，下列结论中不正确的是(

) A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心(x，y) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg

D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 答案

D ^解析

由回归方程为y＝0.85x－85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系；^^^^^^^由最小二乘法建立回归方程的过程知y＝bx＋a＝bx＋y－bx(b＝y－bx)，所以回归直线过样本点的中心(x，y)；利用回归方程可以估计总体，所以D不正确．

2．某商品的销售量y(单位：^A.y＝－10x＋200

^C.y＝－10x－200

件)与销售价格x(单位：元/件)负相关，则其回归方程可能是(

) ^B.y＝10x＋200 ^D.y＝10x－200

答案

A 解析

结合图象(图略)，知选项B，D为正相关，选项C不符合实际意义，只有选项A正确．

3．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x/万元

支出y/万元

8.2

6.2

8.6

7.5

10.0

8.0

11.3

8.5

11.9 9.8 ^^^^^^根据上表可得线性回归方程y＝bx＋b，其中b＝0.76，b＝y－b

x.据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为(

) A．11.4万元

C．12.0万元

答案

B 1解析

由题意可得x＝×(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9)＝10，

51y＝×(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8)＝8，

5^可得a＝8－0.76×10＝0.4. ^∴线性回归方程为y＝0.76x＋0.4. ^把x＝15代入可得y＝0.76×15＋0.4＝11.8.故选B. 4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：

^①y与x负相关且y

＝2.347x－6.423；

^②y与x负相关且y

＝－3.476x＋5.648；

^B．11.8万元

D．12.2万元

③y与x正相关且y

＝5.437x＋8.493；

^④y与x正相关且y

＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是(

) A．①②

C．③④

答案

D 解析

①中，回归方程中x的系数为正，不是负相关；④方程中的x的系数为负，不是正相关，

∴①④一定不正确．

^^^^5．已知线性回归方程y＝bx＋a中的a的估计值为0.2，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为(

) ^A.y＝1.2x－0.2

^B.y＝1.2x＋0.2 B．②③

D．①④

^C.y＝0.2x＋1.2

答案

B ^^^^^^解析

∵回归直线y＝bx＋a中的a的估计值为0.2，样本点的中心为(4,5)，∴5＝4b＋0.2，∴b＝1.2.∴^线性回归方程为y＝1.2x＋0.2. 6．已知x与y之间的一组数据如下表：

x y 0

m 1

5.5

3 7 ^D.y＝0.2x－0.2 ^已求得y关于x的线性回归方程为y＝2.1x＋0.85，则m的值为(

) A．1

C．0.7

答案

D 0＋1＋2＋33解析

∵x＝＝，

42y＝m＋3＋5.5＋7m＋15.5＝，

44B．0.85 D．0.5 3m＋15.5∴这组数据的样本中心点是，. 42^∵y关于x的线性回归方程为y＝2.1x＋0.85，

∴m＋15.53＝2.1×＋0.85，解得m＝0.5. 42∴m的值为0.5. 7．已知x与y之间的几组数据如下表：

x y 1

6 4 ^^^假设根据上表数据所得线性回归方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(

) ^^A.b>b′，a>a′

^^C.ba′

答案

C 1＋2＋3＋4＋5＋67解析

x＝＝，

62y＝0＋2＋1＋3＋3＋413＝，

66^^B.b>b′，a

^^D.b

i＝1xiyi－nx

yxi2－nxn2n^b＝5＝，

7i＝11^^a＝y－bx＝－，

32－0^^b′＝＝2＞b，a′＝－2＜a. 2－1二、填空题

8．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．

^答案

y＝－10＋6.5x

^^^解析

由题意知x＝2，y＝3，b＝6.5，所以a＝y－bx＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程^为y＝－10＋6.5x. 9．某脑科研究机构对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据：

x y 6

12 6 ^^^由散点图可以看出x与y具有线性关系．若线性回归方程为y＝bx－2.3，则b＝________. 答案

0.7 解析

由表格中数据得x＝6＋8＋10＋122＋3＋5＋6＝9，y＝＝4，故样本中心点的坐标为(9,4)．

44^^∵线性回归方程为y＝bx－2.3，

^^∴4＝b×9－2.3，解得b＝0.7. 10．如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．

答案

D(3,10) 解析

去掉D(3,10)这一组数据后，其他4组数据对应的点线性相关性最强，此时相关指数最大．

11．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量(单位：件)与月平均气温x(单位：℃)之间的关系，随都集中在某一条直线附近，即两变量的

机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：

月平均气温x/℃

月销售量y/件

2 55 ^^^^由表中数据算出线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为________．

答案

46 解析

由表格中数据可得x＝y＝24＋33＋40＋55＝38. 417＋13＋8＋2＝10，

4^^^又∵b≈－2，∴a＝y－b

x≈38＋2×10＝58，

^^∴y＝－2x＋58.当x＝6时，y＝－2×6＋58＝46. 三、解答题[来源学科网ZXXK]

12．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元)

销量y(件)

8.2

8.4

68 ^^^^^^(1)求线性回归方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入—成本) 8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9解

(1)x＝＝8.5，

61y＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，

6^^^∵b＝－20，a＝y－bx，

^∴a＝80＋20×8.5＝250，

^∴线性回归方程y＝－20x＋250；

33(2)设工厂获得的利润为L元，则L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20(x－)2＋361.25 433∴该产品的单位应定为元，工厂获得的利润最大．

413．某地区2007年到2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013 8.6

8.8

年份代号t 人均纯收入y 1

2.9

3.3

3.6

4.4[来源学科网]5

4.8

5.2

7 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年到2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

^附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝i＝1

ti－tyi－y

ti－t2nn^^，a＝y－b

t. i＝1解

(1)由所给数据计算得

1t＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，

71y＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，

7i＝1

(ti－t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，

77i＝1

(ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，

^b＝i＝1

ti－tyi－y

ti－t27714＝＝0.5，

28i＝1^^a＝y－b

t＝4.3－0.5×4＝2.3，

^所以所求回归方程为y＝0.5t＋2.3. ^(2)由(1)知b＝0.5>0，故2007年到2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加^0.5千元．将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8.故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．

资料摘要

1.1.2 四种命题优秀教学设计内容