习题3.2名师教学设计2

3.2.2

直线的两点式方程

《直线的两点式方程》是普通高中课程标准实验教科书(人教版)高一年级数学必修2第三章第二节中的内容。

本节课是在学习直线的点斜式方程的基础上,引导学生根据除了已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径外探讨己知两点来求直线方程。在求直线的方程中,直线方程的点斜式是最基本的,而直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。在推导直线方程的两点式时,根据直线方程的点斜式这一结论,先猜想确定一条直线的条件,再根据已知的两点猜想得到的条件求出直线的方程。在应用直线两点式方程及截距式方程应注意满足的条件。

1.教学重点:直线方程两点式和截距式.

2.教学难点:关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形. 一、导入新课

思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程. （2）已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程. 思路2.要学生求直线的方程，题目如下：

①A(8，-1)，B(-2，4)；

②A(6，-4)，B(-1，2)；

③A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2). (分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程) 这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢? 二、新知探究

提出问题

①已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程. ②若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？

③两点式公式运用时应注意什么？

④已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程.

⑤a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？

⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？

活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：

已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：

a.利用直线的斜率公式求出斜率k; b.利用点斜式写出直线的方程. ∵x1≠x2,k=y2y1, x2x1y2y1(x-x1). x2x1∴直线的方程为y-y1=∴l的方程为y-y1=y2y1(x-x1).①

x2x1yy1xx1.②

y2y1x2x1当y1≠y2时,方程①可以写成由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式. 注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x1≠x2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1. ③引导学生注意分式的分母需满足的条件. ④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.

因为直线l经过(a，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是y0xa.①

b00axy=1.②

ab注意：②这个方程形式对称、美观,其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距. 因为方程②是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离. ⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式. 讨论结果：①若x1≠x2且y1≠y2,则直线l方程为yy1xx1. y2y1x2x1②当x1=x2时，直线与x轴垂直，直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1. ③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x1≠x2,y1≠y2). ④xy=1. ab⑤a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离. ⑥截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式. 例1

求出下列直线的截距式方程：

（1)横截距是3，纵截距是5；

（2)横截距是10，纵截距是-7；

（3)横截距是-4，纵截距是-8. 答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.

例2、已知三角形的三个顶点A（– 5，0），B（3，– 3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

分析：BC边所在直线的方程：由两点式方程即得：5x

+ 3y

–

6 = 0；BC的中点为M(,)（中点坐标公式），所以AM所在直线的方程为：x + 13y + 5 = 0。

解：AB所在直线的方程，由两点式,得

3212y0x(5),即3x+8y+15=0. 303(5)5x+2,即5x+3y-6=0. 3xy=1,即2x-5y+10=0. AC所在直线的方程，由截距式,得52BC所在直线的方程，由斜截式,得y=-三、达标检测

1．过点A(3,0)和B(2,1)的直线方程为(

) A．x＋y－3＝0 C．x＋y＋3＝0 【解析】

由两点式方程得【答案】

A 2．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(

) xyA.＋＝1

43xyC.－＝1

43xyB.＋＝1 34xyD.－＝1 34B．x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0 y－0x－3＝，整理得x＋y－3＝0. 1－02－3x【解析】

因为由点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为＋4y＝1. －3【答案】

C 3．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________；

(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________. 【解析】

(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2. y－－1x－2(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0.又点4－－1－3－2P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2. 【答案】

(1)x＝2

(2)－2 4．求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．

【解】

设直线的两截距都是a，则有

3①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝，∴l：3x－2y＝0；

2xy②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，

aa把P(2,3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5. ∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 四、归纳小结：

（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？

（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？