2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计思路

2．1.4

平面与平面之间的位置关系

[学习目标]

1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．

[知识链接]

1．空间中两条直线的位置关系有平行、相交、异面．

2．异面直线所成角的范围为(0°，90°]．

[预习导引]

1．直线与平面的位置关系

位置关系

直线在平面有无数个公共点

内

直线与平面有且只有一个公共点

相交

直线与平面没有公共点

平行

2.两个平面的位置关系

位置关系

平面α与平面β平行

平面α与平面β相交

α∩β＝l 直线

α∥β

有一条公共没有公共点

图形表示

符号表示

公共点

a∥α

a∩α＝A

a⊂α

定义

图形语言

符号语言

要点一

直线与平面的位置关系

例1

以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，

b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 答案

A 解析

如图所示在长方体ABCD

A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；

A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；

AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；

A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．

规律方法

1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行．

2．判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法．

跟踪演练1

下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，直线b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．

其中假命题的序号是________．

答案

①②③

解析

对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是假命题．对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命题．对于③，

∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴③是假命题．对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，∴a可以与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题．

要点二

平面与平面的位置关系

例2

给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是(

) ①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合．

A．0

B．1 C．3

D．4 答案

A 解析

如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

对于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连接EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错．

对于②，在正方体ABCDA1B1C1D1的面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的．

对于③，在正方体ABCDA1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错误的．对于④，两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题④错．

规律方法

1.判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断．

2．反证法也用于相关问题的证明．

跟踪演练2

如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(

) A．平行

B．相交

C．平行或相交

D．不能确定

答案

C 解析

如图所示，由图可知C正确．

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A．一条直线不相交

B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交

D．任意一条直线不相交

答案

D 解析

直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．

2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(

) A．平行

B．相交

C．直线在平面内

D．平行或直线在平面内

答案

D 解析

由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在其中一个平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)．

3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．异面

D．不确定

答案

B 解析

∵M∈平面α，M∈平面β，

∴α与β相交于过点M的一条直线．

4．α、β是两个不重合的平面，下面说法正确的是(

) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β

B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β

C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β

D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β

答案

D

解析

A、B都不能保证α、β无公共点，如图①；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图②；只有D说明α、β一定无公共点，故选D.

5．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β. 其中错误命题的序号为________．

答案

①②

解析

对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCDA1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．

1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式

2．判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法．

一、基础达标

1．若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是(

) A．b∥α

B．相交

C．b⊂α

D．b⊂α、相交或平行

答案

D

解析

如图所示，选D.

2．直线a在平面γ外，则(

) A．a∥γ

B．a与γ至少有一个公共点

C．a∩γ＝A

D．a与γ至多有一个公共点

答案

D 解析

直线a在平面γ外，包括直线a与平面γ相交或平行两层含义，故a与γ至多有一个公共点．

3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是(

) A．平行

B．相交

C．平行或相交

D．AB⊂α

答案

C 解析

结合图形可知选项C正确．

4．以下四个命题：

①三个平面最多可以把空间分成八部分；

②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；

③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；

④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．

其中正确的是(

) A．①②

B．②③

C．③④

D．①③

答案

D 解析

对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；

对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错．所以正确的是①③. 5．在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(

) A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

答案

B 解析

如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D. 6．若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个．

答案

1 解析

当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个．

7．已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内．

解

已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a. 求证：b⊂α. 证明

如右图，∵a∥α，A∈α，∴A∉a，

∴由A和a可确定一个平面β，则A∈β，

∴α与β相交于过点A的直线，设α∩β＝c，

由a∥α知，a与α无公共点，而c⊂α，

∴a与c无公共点．

∵a⊂β，c⊂β，∴a∥c.又已知a∥b，且A∈b，A∈c，

∴b与c重合．∴b⊂α. 二、能力提升

8．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线(

) A．异面

B．相交

C．平行

D．垂直

答案

D 解析

若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放在地面上，则A不正确．所以选D. 9．如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号)．

①不可能只有两条交线；

②必相交于一点；

③必相交于一条直线；

④必相交于三条平行线．

答案

①

解析

空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．

10．下列命题正确的是________．

①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

答案

①③

解析

对于①，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直，∴命题①正确．

对于②，α、β也可能相交，②不正确；

对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；

对于④，当a与b重合时，a在β内，当a∥b时，a∥β，当a与b相交时，a与β相交，④不正确．

11. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明

你的结论．

解

a∥b，a∥β.证明如下：

由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，

由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，

∵α∥β，a⊂α，b⊂β，

∴a、b无公共点．

又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点．

又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β. 三、探究与创新

12. 如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．

解

平面ABC与β的交线与l相交．证明如下：

∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，

则P∈AB，P∈l. 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，

∴P∈平面ABC，P∈β. ∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，

∴直线PC就是平面ABC与β的交线，

即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，

∴平面ABC与β的交线与l相交．

13．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？

解

三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．