3.1.1 变化率问题教学教案设计

《变化率问题》教学设计

四川省安岳实验中学

刘昌军

一、教学内容分析

函数是高中数学的主干内容，导数作为选修内容进入新课程，为研究函数提供了有力的工具，使函数的单调性、极值、最值等问题都得到了有效而彻底的解决。教材按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，从变化率入手，采用形象直观的“逼近”方法定义导数，使导数概念的建立形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。本章内容的核心概念是平均变化率，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。能为今后的深入学习和探究打下良好的知识基础和心理基础。本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

二、学生学情分析

高二学生已有一定的生活经验，掌握了相关学科知识，有一定的数学储备知识：如函数知识，直线的斜率公式以及平均速度、瞬时速度、加速度等物理概念；学生思维普遍活跃，善于表达，善于发现问题，乐于和教师交流分享他们的解题心得。但利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力。把生活经验抽象成数学问题有一定困难，升华为数学概念对高中生更有一定困难，需要教师的引领。

基于以上分析，确定本节课的教学重难点如下：

重点：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。

难点：通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义；并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。

三、教学目标分析

知识与技能：通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程。

过程与方法：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

情感、态度与价值观：1.让学生通过学习了解变化率的广泛应用：在几何体的应用，在物理学里的应用，在其他数学知识中的体现，培养学生多方面的数学素养。2.体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

1

四、教学策略分析

1.为了有效的突破教学难点，突出平均变化率的概念本质，从“气温的变化问题”入手，引导学生探究如何从数学角度，解释生活中的变化快慢现象，使学生初步理解可以用“函数值与自变量的比值大小”描述数学中变化快慢的生活问题，提炼数学模型，为后面探究“气球膨胀率”、“高台跳水”问题奠定基础，为归纳“平均变化率”的概念提供具体背景。

2.在教学中充分发挥信息技术的优势，帮助学生更好地理解概念。通过动态演示，让学生感受数学来源于生活，并积极主动地参与到课堂中，使学生保持高水平的思维活动。通过几何画板演示,使学生对概念的理解直观，生动，让学生更好的体会数形结合的思想。

五、教学过程设计

（一）情景设计、引出课题

1.背景介绍：了解微积分的创立史以及它在数学和科学发展中的地位，体会微积分算法思想，激发学生学习兴趣。

2.利用“生活中存在大量变化快慢的量”总体把握，明确目标，引出课题。

设计意图：让学生了解函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究而产生了微积分。通过背景介绍增加学生的好奇心，同时让学生感受丰富多彩的变化率问题随处可见，激发学生继续学习的热情。

（二）探究新知，揭示概念

实例一：高台跳水

人们发现，在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h

(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 我们可以用运动员在某段时间内的平均速度粗略地描述其运动状态。

1.你能计算运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2这两段时间里的平均速度吗？

并要求解释结果

2.运动员的平均速度的数学意义是什么？

平均速度是反应运动员在某段时间里

位移的平均变化率。

3.当时间从t1到t2时，运动员的平均速度是多少？

h(t2)-h(t1)学生回答：

t2-t1设计意图：学生已有平均速度的概念可以由函数解析式写出运动员的平均速度，并让学生明白平均速度是反应运动员在某段时间里位移的平均变化率。

2

实例二：气球膨胀率

吹气球比赛

规则：

1.积极参加比赛、全力以赴、弘扬体育精神；

2.第一局，吹一口气记下参赛选手的气球半径r1，最小者被淘汰；

3.第二局，接着再连吹两口气,记下参赛选手的气球半径r2，r2-r1>r1的参赛手为冠军。

你能通过阅读课本解释比赛结果吗？

设计意图：以活动形式加深学生体验，激发学生学习兴趣。

思考：1.怎样理解气球的半径增加得越来越慢？

先独立思考，再在小组内交流你的想法。

学生讨论，小组交流，教师巡视。

学生充分讨论后，小组代表上台演示交流。

借助Excel的自动计算功能帮助学生进一步理解：随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小. 设计意图：分组探究，合作释疑，让探究成为一种习惯，并借助Excel让学生体会平均变化率从数的角度更能精准刻画气球的半径变化的快慢。

2.当空气容量从V1增到加V2时，气球的平均膨胀率是多少？

讨论得出：

r(V2)-r(V1)

V2-V1设计意图：让学生明白气球的平均膨胀率实际上是函数r的平均变化率。

实例三：气温的变化问题

1日-21日，气温升高14.2℃，21日-23日，气温升高14.6℃.但21日-23日，有“温度骤增”的感觉，同样升高14℃左右，1日-21日却没有这样的的感觉，为什么呢？

出示气温变化图，让学生思考并提问

因为

14.6℃>14.2℃

?

3

哪一段时间气温变化得“快”？

1.你能用数学语言来解释气温变化的快慢程度吗？

2.当时间从t1到t2时，气温的平均变化率是多少？

T(t2)-T(t1)学生回答：

t2-t1设计意图：让学生自然想到应该用气温的平均变化率来描述气温变化的快慢程度。体会以直代曲处理变化率的优越性。

（三）分析归纳，抽象概括

针对上面三个实例，教师引出问题：“我们通过分析解析式、通过分析表格得出气球的平均膨胀率、通过观察图象得出了气温的平均变化率，得到了运动员的平均速度”。

（出示幻灯）

实例一：高台跳水

h(t2)-h(t1)当时间从t1到t2时，运动员的平均速度=

t2-t1实例二：气球膨胀率

r(V2)-r(V1)当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率=

V2-V1实例三：气温变化问题

T(t2)-T(t1)当时间从t1到t2时，气温的平均变化率=

t2-t1学生思考下列问题

1.上述三个问题，有什么共同特征同？

2.如果上述三个问题中的函数关系用y=f(x)表示，那么问题中的变化率可以怎样表示？

3.下图中函数从x1到x2的平均变化率怎样计算？

4.你是怎么理解∆x与∆y的？

5.函数从x1到x1+∆x的平均变化率怎样计算？

6.说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？

4

Δyf(x2)-f(x1)7. 观察函数y=f(x)的图象，平均变化率=表示什么? Δxx2-x1

设计意图：让学生自己通过具体实例把生活经验抽象成数学问题，进而升华为数学概念，自然得出函数的平均变化率，培养学生抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力。通过对各类曲线的几何画板演示直观认识平均变化率。

(四)知识应用，深化理解

1例1：求函数y＝x2在x=1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？

3变式训练：已知函数f(x)=x2,分别计算函数f(x)在区间[1,3], [1,2], [1,1.1], [1,1.001]上的平均变化率. 例2：甲、乙两人赛跑，热身跑时路程与时间的关系，以及百米赛跑时路程与时间的关系分别如图1-1-1、图1-1-2所示，试问：

(1)热身跑时甲、乙两人哪一个跑得快？

(2)甲、乙两人百米赛跑快到终点时，谁跑得较快？

变式训练：如图，某工厂有两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通.现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么，从注水开始，水池乙水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系的．．．图像可能是

(

)

设计意图：结合文科生实际，在选择题目时注重了基础性。强化从“数”和“形”两个角度分析“平均变化率”，目的在于巩固平均变化率的求解步骤，强化平均变化率的几何意义，同时初步感知“逼近”的思想。

5

思考：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 65(1)计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度；

49(2)运动员在这段时间里是静止的吗? (3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 设计意图：让学生感受平均速度只能粗略地描述运动状态，为下一节课的学习作心理准备。

(五)反思总结、分享收获

1.这节课你学到了什么？

2.这节课给你影响最深刻的是什么? 3.下课后你还想解决那些问题? 设计意图：培养学生“学习—总结—反思—行动”的良好习惯，同时通过自我的评价来获得成功的快乐。

(六)布置作业、课后探究

必做题：

1.已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化率. (1)a=1,b=2；(2)a=3,b=3.1；(3)a=-2,b=1.5.

2.向高为H的水杯中注水（水流速度固定），注满为止，如果注水深度y与时间t的函数关系的图像，如图所示，那么水杯的形状是 （ ）

选做题：

3.国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．试问哪个企业治污效果好(其中W表示治污量)?

设计意图：知识巩固，反馈信息，同时注意个体差异，因材施教。

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